makalah sistem kordinat kartesius

BAB I

PENDAHULUAN

A.   LATAR BELAKANG

Rene Descartes dikenal sebagai ahlli filsafat modern pertama yang besar. Ia juga penemu biologi modern, ahli fisika, dan matematikawan. Ia lahir di Touraine, Prancis, putra dari seorang ahli hukum, yang lumayan kekayaannya. Ayahnya mengirimnya ke sekolah  Jeswit pada umur 8 tahun. Karena kesehatannya yang kurang baik, Descartes diizinkan menghabiskan waktu paginya belajar di tempat tidur, suatu kebiasaan yang dipandangnya berguna sehingga dilanjutkannya sepanjang hidupnya. Pada umur 20 tahun, ia mendapat gelar sarjana hukum dan selanjutnya menjalani kehidupan seorang tuan yang terhormat, menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal beberapa waktu di Paris dan kemudian di Belanda. Ia pergi ke Swedia diundang untuk mengajari Ratu Christina, di mana ia meninggal karena pneumonia pada tahun 1850.

Descartes menyelidiki suatu metode berfikir yang umum yang akan memberikan perkalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan itu mengantarnya ke matemtika, yang ia simpulkan sebagai sarana pengembangan kebenaran di segala bidang. Karya matematikanya yang paling berpengaruhu  adalah La Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri tua dan patut dimuliakan dengan AlJabar yang masih bayi. Bersama dengan orang Prancis lainnya, Pierre Fermat (1601-1665), ia diberi pujian dengan gabungan tersebut  yang saat ini kita sebut geometri analitik atau geometri koordinat. Makalah ini akan menyajikan terobosannya khusus mengenai sistem koordinat, diantaranya sistem koordinat kartesius, koordinat polar, dan koordinat bola.

B.   RUMUSAN MASALAH

Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah apakah yang dimaksud dengan sistem koordinat itu dan apa saja macam-macam sistem koordinat?

C.   TUJUAN

Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah di atas, adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut.

1.       Memberikan pemahaman mengenai sistem koordinat secara umum.

2.       Mendeskripsikan sistem koordinat kartesius.

3.       Mendeskripsikan sistem koordinat polar.

4.       Mendeskripsikan sistem koordinat bola.

BAB II

PEMBAHASAN

A.     Sistem koordinat Kartesius

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

                                    Gambar 1 Sistem koordinat Kartesius.

Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

                        Gambar 2

Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).

Sistem Koordinat 1 Dimensi

                                       SISTEM KOORDINAT 1-DIMENSI

                                                    Satu sumbu koordinat

Sistem Koordinat 2 Dimensi

Pada halaman pertama telah dikenalkan mengenai Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi. Pada umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius.

Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).

Kuadran	nilai x	nilai y
I	> 0	> 0
II	< 0	> 0
III	< 0	< 0
IV	> 0	< 0

Penjelasan tambahan (penjelas)

Sistem koordinat kartesius dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua salib sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y, seperti digambarkan pada gambar 3.1 di bawah ini :

 

Gambar 3.1. Sistem Koordinat Kartesian 2 Dimensi

Jika dilihat dari gambar 3.1 diatas, koordinat P mempunyai jarak pada sumbu X yang disebut absis sebesar 3 dan mempunyai jarak pada sumbu Y yang disebut ordinat sebesar 5. Sedangkan d merupakan jarak dari pusat sumbu koordinat (O) ke titik P. Nilai d dapat dihitung dengan persamaan :

 d =                                            (3.1)

jika d merupakan jarak antara dua titik, secara umum d dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut :

              d =                                                        (3.2)

dimana i dan j menunjukkan nama titik.

 

                              Gambar 3.2. Jarak dari dua titik

Dari gambar 3.2 diperoleh bahwa,

      (3.3)

B.    Sistem Koordinat Polar

Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Selanjutnya dapat dijelaskan pada gambar 3.3 berikut ini.

 

Gambar 3.3. Sistem Koordinat Polar

Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar

Kedua sistem koordinat, yaitu koordinat kartesian dan koordinat polar, dapat saling berhungan secara matematis. Perhatikan gambar 3.4 berikut ini.

 

                                                                                                                            

 

Gambar 3.4. Hubungan Sistem Koordinat Kartesian dan Polar

Dari gambar 3.4 di atas, maka dapat diketahui hubungan secara matematis antara koordinat kartesian dan polar,

                              x = r.cosθ  dan   y = r.sinθ                               (3.4)

                              r =             dan    θ = t                    (3.5)

Sistem Koordinat 3 Dimensi

Koordinat Kartesian

Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 Dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus, seperti yang terlihat pada gambar 3.5.

 

Gambar 3.5 Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi

Titik O merupakan titik pusat dari ketiga sumbu koordinat X, Y, dan Z. Sedangkan titik P didefinisikan dengan P (x, y, z). Penggunaan sistem koordinat kartesian 3 Dimensi banyak digunakan dalam pengukuran menggunakan sistem GPS.

C.    Sistem Koordinat Bola

Posisi suatu titik dalam ruang, selain didefinisikan dengan sistem kartesian 3 Dimensi, dapat juga didefinisikan dalam sistem koordinat bola (pronsip dasarnya sama dengan koordinat polar, yaitu sudut dan jarak).

Gambar 3.6. Sistem Koordinat Bola

Pada gambar 3.6, koordinat titik P didefinisikan dengan nilai P (r, φ, λ). Jika kita cermati, koordinat ini sama halnya dengan koordinat lintang dan bujur yang sering digunakan dalam globe, atau peta, atau lainnya.

Terdapat hubungan antara sistem koordinat bola dan sistem koordinat kartesian 3 dimensi, seperti ditunjukan dalam persamaan matematis berikut ini :

                          x = r.cos, y = r.cos  z =  r.sin(3.6)

                                                   atau

                                                                                                                                                                                                 r = ,  Ø = arctan (3.7)

BAB III 

PENUTUP

         Kesimpulan

1.     Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.

2.      Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut.

3.     Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

4.       Sistem koordiat kartesius 1 dimensi merupakan sistem koordiant yang hanya terdiri atas satu sumbu horizontal.

5.       Sistem koordinat kartesius dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua salib sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y.

6.       Sistem Koordinat Kartesius 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 Dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus.

7.       Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya.

8.       Posisi suatu titik dalam ruang, selain didefinisikan dengan sistem kartesian 3 Dimensi, dapat juga didefinisikan dalam sistem koordinat bola (pronsip dasarnya sama dengan koordinat polar, yaitu sudut dan jarak).

DAFTAR PUSTAKA

Jimly, Walles. 2009. Kalkulus sistem koordinat. Tersedia pada http://id.wikipedia.org/wiki. diakses pada tanggal 2 November 2010.

Purcell, J.. 2000. Kalkulus I jilid 1. Bandung: PT Gramedia.

Sutrisno. 1997. Seri Fisika Dasar. Bandung: ITB.

Suara, media. 2010. Sistem Koordinat. Tersedia pada http://www.suaramedia.com. Diakses pada tanggal 30 Oktober 2010.