Rabu, 03 April 2013

modul fisika modern




MODUL
FISIKA MODERN
KODE MATA KULIAH




































MODUL 1
RELATIVITAS
Pendahuluan

            Teori relativitas memeriksa bagaimana pengukuran kuantitas fisis bergantung pada pengamat seperti juga pada peristiwa yang diamati. Dari relativitas muncul mekanika baru yang menyiratkan kaiyan yang sangat erat antara ruang dan waktu, massa dan energi kelistrikan dan magnetisme-tanpa kaitan itu tidak mungkin mengerti dunia fisika.

Materi

1.1        Postulat Relativitas Khusus
            “Semua gerak adalah relative, kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama bagi semua pengamat”
               Teori relativitas khusus bersandar pada dua postulat. Postulat pertama, prinsip relativitas, menyatakan bahwa hokum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya. Postulat ini menyatakan ketiadaan kerangka acuan yang universal. Jika hukum fisika berbeda untuk pengamat yang berbeda dalam keadaan gerak relative, maka kita dapat menentukan mana yang dalam keadaan diam dan mana yang bergerak dari perbedaan tersebut. Tetapi karena tidak terdapat kerangka acuan universal, perbedaan itu tidak terdapat, sehingga muncul postulat tersebut.
               Postulat kedua menyatakan bahwa kepesatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat, tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat itu.


1.2        Pemuaian Waktu
      Sebuah lonceng yang bergerak terhadap pengamat kelihatanya berdetak lebih lambat daripada jika lonceng itu diam terhadapnya. Ini berarti jika seorang pengamat dalam suatu roket mendapatkan selang waktu antara dua kejadian dalam roket itu to, orang di bumi mendapatkan bahwa selang waktu tersebut lebih panjang, yaitu t. kuantitas to yang ditentukan oleh kejadian yang terdapat pada tempat yang sama dalam kerangka acuan pengamatnya disebut selang waktu proper antara kejadian itu. Bila diamati dari bumi, kejadian yang menandai permulaan dan akhir selang waktu itu terjadi pada tempat yang berbeda, dan mengakibatkan selang waktunya kelihatan lebih panjang dari waktu proper. Efek ini disebut pemuaian waktu (memuai adalah bertambah besar).
Pemuaian waktu =
Dimana :
to = selang waktu pada lonceng yang diam relative terhadap pengamat
t = selang waktu pada lonceng dalam keadaan gerak relatif terhadap   pengamat itu
v  = kelajuan gerak relatif
c  = kelajuan cahaya

1.3        Efek Doppler
Gerak relative antara pengamat dan suber bunyi mengubah frekuensi yang diterima
Kita mengenal pertambahan tinggi nada jika sumbernya mendekati kita (atau kita mendekati sumbernya) dan penurunantinggi nada jika sumbernya menjauhi kita (atau kita menjauhi sumber). Perubahan frekuensi ini merupakan efek doppler yang asal usulnya dapat kita cari secara langsung. Misalnya, gelombang berurutan yang dipancarkan oleh sumber yang bergerak ke arah pengamat lebih berdekatan daripada normal karena majunya sumber tersebut, dan karena jaraknya ialah panjang gelombang bunyi, maka frekuensinya menjadi lebih tinggi. Hubungan antara frekuensi sumber vo dan frekuensi pengamat v ialah :
Efek doppler untuk bunyi  
Disini c     =   menyatakan kelajuan bunyi
 v      = kelajuan pengamat (+ jika bergerak ke arah sumber, - jika    menjauhi sumber)
V       = kelajuan sumber(+ jika bergerak ke arah pengamat, - jika bergerak menjauhinya)
Efek doppler untuk bunyi jelas berubah bergantung dari apakah sumbernya, atau pengamatnya atau keduanya bergerak yang seakan-akan bertentangan dengan prinsip relativitas, semuanya hanya bergantung dari gerak relatif antara sumber dan pengamat. Tetapi gelombang bunyi hanya terjadi dalam medium materi seperti udara atau air, dan mediumnya itu sendiri merupakan kerangka acuan: terhadap kerangka ini gerak sumber dan pengamat dapat diamati dan diukur. Jadi tidak ada kontradiksi. Dalam kasus cahaya, tidak berkaitan dengan medium dan hanya gerk relatif antara sumber dan pengamat saja yang berarti. Jadi efek doppler dalam cahaya ahrus berbeda dengan efek tersebut dalam bunyi.
Efek doppler transversal
1.     Pengamat bergerak tegak lurus pada baris antara ia dengan sumber cahaya
2.     Pengamat menjauhi sumber cahaya
3.     Pengamat mendekati sumber cahaya
1.4        Pengerutan Panjang
Lebih cepat berarti lebih pendek
Pengukuran panjang seperti juga selang waktu dipengaruhi oleh gerak relative. Panjang L benda bergerak terhadap pengamat kelihatannya lebih pendek dari panjang Lo bila diukur dalam keadaan diam terhadap pengamat. Gejala ini dikenal sebagai pengerutan Lorentz Fitz Gerald. Pengerutan serupa itu hanya terjadi dalam arah gerak relatif. Panjang Lo suatu benda dalam kerangka diamnya disebut panjang proper.
Pengerutan relativistik dari jarak merupakan contoh umum dari pengerutan panjang Lorentz-fitz Gerald dalam arah gerak :
Pengerutan Lorentz    

1.5        Paradoks Kembar
Hidup yang lebih panjang, tetapi tampaknya tidak demikian
Paradoks ini berkaitan dengan dua lonceng identik, yang satu ditinggal di bumi, sedangkan yang lain dibawa ikut dalam perjalanan ke ruamg amgkasa dengan kecepatan v, kemudian dikembalikan ke bumi. Biasanya loncengnya diganti dengan sepasang orang kembali A (pria) dan B (wanita); suatu penggantian yang boleh dilakukan , karena proses kehidupan-detak jantung, respirasi dan sebagainya-merupakan lonceng biologis  yang keteraturannya baik.
Si kembar yang mengembara lebih muda daripada yang ditinggal
Si kembar A pergi ketika berumur 20 tahun dan mengembara dengan kelajuan v = 0,8 c ke suatu bintang berjarak 20 tahun cahaya, kemudian ia kembali ke bumi (satu tahun cahaya sama dengan jarak yang ditempuh cahaya dalam satu tahun dalam ruang hampa. Jarak itu sama dengan 9,46 x 1015 m). terhadap saudara wanitanya B yang berada di bumi, A kelihatabbya hidup lebih lambat selama perjalanan itu, kelajuannya hanya  dari B. untuk setiap tarikan napas yang diambil A,B mengambil  kali; untuk setiap suap A makan, B makan nya; untuk setiap hal A berpikir, B berpikir nya.
Akhirnya , setelah 50 tahun berlalu menurut perhitungan B (to = 2Lo/v = 50 tahun). A kembali dari perjalanan yang mengambil waktu 60 persennya, sehingga A telah meninggalkan bumi 30 tahun lamanya dan ia kini berumur 50 tahun, sedangkan B berumur 70 tahun.




1.6        Kemagnetan dan Kelistrikan
Relativitas adalah jembatannya
Gaya magnetic adalah modifikasi dari gaya listrik sebagai akibat dari gerak relative antara muatan. Karena pada umumnya muatan bergerak (biasanya elektron) yang interaksinya menimbulkan berbagai gaya magnetic yang kita kenal mempunyai kelajuan jauh lebh kecil daripada c , maka tidak jelas bagi kita bahwa operasi suatu motor listrik, misalnya, bekerja berdasarkan efek relativistic. Gagasan ini menjadi lebih jelas jika kita pertimbangkan kekuatan gaya listrik. Gaya tarik menarik antara electron dan proton dalam atom hydrogen, misalnya, 1039 kali lebih besar dripada gaya gravitasi antara keduanya. Sehingga walaupun muatan kecil yang menyebabkan gaya semacam ini yang ditimbulkan oleh gerak relative, yang dinyatakan oleh gaya magnetic, akibatnya lebih besar. Lebih lanjut lagi, walaupun kelajuan efektif electron individu dalam kawat pembawa arus (<1 mm/s)lebih kecil dari kelajuan ulat yang kelelahan, tetapi terdapat sekitar 1020 atau lebih electron yang bergerak per sentimeter kawat senacan itu, sehingga efek totalnya bias teramati.
Kelistrikan dan kemagnetan merupakan manifestasi dari interaksi yang sama. Jelaslah bahwa konduktor pembawa arus yang terlihat netral dari suatu kerangka acuan dapat terliha tidak netral dari kerangka yang lain. Bagaimanakah pengamatan ini dapat disesuaikan dengan invariansi muatan? Jawabannya ialah kita harus meninjau seluruh rangkaian dimana konduktor itu merupakan bagian. Karena rangkaian harus tertutup supaya ada alirab arus , maka untuk setiap unsur arus pada suatu arah yang terlihat oleh pengamat yang bergerak mempunyai muatan positif, misalnya, harus terdapat unsur arus lain yang arahnya berlawanan yang terlihat oleh pengamat tersebut mempunyai muatan negatif. Jadi gaya magnetik selalu beraksi antara bagian yang berbeda dari suatu rangkaian, walaupun rangkaian itu secara keseluruhan terlihat netral terhadap semua pengamat.


1.7        Relativitas Massa
Massa diam paling kecil
Tumbukan elastis dilihat oleh pengamat yang berbeda.
Kita mulai dengan meninjau tumbukan elastis (lenting-yaitu tumbukan yang energi kinetiknya kekel) antara dua partikel A dan B , yang disaksikan oleh pengamat dalam kerangka acuan S dan S’ yang berada dalam gerak relatif uniform. Sifat A dan B identik jika ditentukan terhadap kerangka acuan tempat partikel itu diam.
Sebelum tumbukan, partikel A dalam keadaan diam terhadap kerangka S dan partikel B terhadap kerangka S’. Kemudian pada saat yang sama , A dilemparkan dalam arah +y dengan kecepatan VA , sedangkan B dalam arah –y’ dengan kecepatan V’B,  dengan
                                       (1.10)             
Jadi perilaku A seperti terlihat dari S sama benar dengan perilaku B seperti terlihat dari S’. Ketika kedua partikel bertumbukan, A memantul dalam arah –y dengan kecepatan VA , sedangkan B memantul dalam arah +y’  dengan kecepatan V’B. Jika partikel tersebut dilemparkan dari kedudukan yang berjarak y, pengamat di S menemukan bahwa tumbukannya terjadi pada y = ½  Y dan pengamat di S’ menemukan tumbukannya terjadi pada y’ = ½ Y. Waktu pulang pergi To untuk A diukur dari kerangka S menjadi
                                        (1.11)
Dan waktunya sama untuk B dalam S’.
Jika momentum kekal dalam kerangka S, harus berlaku bahwa
                               (1.12)
Dengan mA menyatakan massa A dan B, dan VA dan VB menyatakan kecepatan diukur dari kerangka S. Dalam kerangka S, VB didapat dari
                                         (1.13)
Dengan T menyatakan waktu yang diperlukan B untuk melakukan pulang-pergi seperti diukur dari S’, perjalanan B memerlukan waktu To, dengan
                           (1.14)
Menurut hasil yang lalu. Walaupun pengamat dalam kedua kerangka melihat kejadian yang sama, mereka melihat perbedaan waktu yang diperlukan partikel yang dilemparkan dari kerangka lain untuk melakukan tumbukan kemudian kembali ke tempat semula.
Dengan mengganti T dalam pers. (1.13) dengan besaran yang sama dinyatakan dalam To, kita peroleh
Dengan memasukkan persamaan ini untuk VA dan VB dalam pers (1.12) kita lihat momentum kekal jika dipenuhi
                                (1.15)
Hipotesis kita semula adalah A dan B identik bila dalam keadaan diam terhadap pengamat; perbedaan antara mA dan mB berarti pengukuran massa, seperti juga ruang dan waktu, bergantung dari kecepatan relatif antara pengamat , kejadian apapun yang sedang diamati.
Dalam contoh di atas baik a maupun b bergerak terhadap S. supaya kita mendapat rumusan massa suatu benda yang terukur dalam keadaan diam, kita perlu meninjau contoh yang serupa dengan VA dan V’B  sangat kecil. Dalam hal ini pengamat di S akan melihat B mendekati A dengan kecepatan v, membuat tumbukan yang luput (karena V’B << v), dan kemudian melanjutkan perjalanannya. Dalam S
     dan    
Sehingga
Massa relativistik                     (1.16)


1.8        Massa dan Energi
Dimana E = mc2
Perhitungan energi kinetik secara relativistik  dengan F menyatakan komponen gaya yang beraksi dalam arah perpindahan ds dan s menyatakan jarak selama gaya tersebut beraksi. Dengan memakai bentuk relativistik hukum gerak kedua
Rumus energi kinetik menjadi
     =

Integrasi parsial
     =
     =
     =                           (1.19)
Hasil ini menyatakan bahwa energi kinetik suatu benda sama dengan pertambahan massanya sebagai akibat gerak relatifnya dikalikan dengan kuadrat kelajuan chaya.
Energi total termasuk massa diam.
Energi total
                          (1.20)
Jika kita tafsirkan mc2 sebagai energi total benda E dengan sendirinya, bila benda itu dalam keadaan diam K  0, tetapi benda tetap memiliki energi m0c2. dengan demikian m0c2 disebut energi diam Eo dari benda yang massa diamnya mo. Sehingga kita peroleh
Dengan
Energi diam                            (1.21)
Jika benda bergerak maka energi totalnya adalah
                            (1.22)

Massa dapat diciptakan dan dimusnahkan. Karena massa dan energi bukan merupakan kuantitas yang bebas, maka hukum kekekalan massa dan energi sebenarnya menjadi satu, hukum kekekalan massa dan energi. Massa dapat diciptakan atau dimusnahkan, tetapi jika hal ini terjadi, sejumlah energi yang setara akan hilang atau muncul dan sebaliknya. Massa dan energi merupakan aspek yang berbeda dari suatu kuantitas yag sama.
 merupakan aproksimasi energi kinetik untuk kelajuan rendah. Jika kecepatan relatif v terhadap c , rumusan energi kinetik harus dapat tereduksi menjadi bentuk yang dikenal ½ , yang telah terbukti secara eksperimen untuk kecepatan kecil. Marilah kita periksa kebenaran rumus itu. Rumus relativistik untuk energi kinetik adalah
Karena  << 1, kita dapat menggunakan uraian binomial (1 + x)n ≈ 1 + nx, yang berlaku untuk |x| << 1, untuk mendapatkan
Jadi kita peroleh hasil
           v << c
1.9        Partikel tak Bermassa
Partikel akan memiliki massa diam hanya bila partikel itu bergerak dengan kelajuan cahaya.
Dalam mekanika klasik, suatu partikel harus mempunyai massa diam supaya dia memiliki energi dan momentum, tetapi dalam mekanika relativistik persyaratan sepeti itu tak berlaku.
Energi total
                           (1.22)
Momentum relativistik
                           (1.17)

Pembatasan lain pada partikel tak bermassa. Dari pers (1.22)
Dan dari pers (1.17)
Dengan mengurangi p2c2 dari E2 menghasilkan
              =
Sehingga

Semua partikel
                                             (1.23)
Menurut rumusan itu, bila ada partikel dengan mo = 0, maka hubungan antara energi dan momentumnya harus diberikan dengan
Partikel tak bermassa
                                                                 (1.24)

1.10    Transformasi Lorentz
awalnya diturunkan dari teori elektromagnetik transformasi ini berlaku untuk setiap kejadian dalam kerangka inersial
Transformasi lorentz

Transformasi lorentz balik


1.11    Penjumlahan Kecepatan
Akal sehat dikalahkan
Postulat relativitas khusus menyatakan bahwa kelajuan cahaya dalam ruang hampa c mempunyai harga yang sama untuk semua pengamat, tidak bergantung dari gerak relatifnya. Tetapi akal sehat menyatakan bahwa jika kita melempar bola ke depan dengan kelajuan 10 m/s dari sebuah mobil yang bergerak pada kecepatan 30 m/s , maka kelajuan bola terhadap jalan ialah 40 m/s, yang merupakan jumlah kedua kelajuan tersebut. Jadi kita bisa mengharapkan bahea seberkas cahaya yang dipancarkan dalam kerangka acuan S’ pada arah geraknya dengan kelajuan v relativ terhadap kerangka S (jalan) akan mempunyai kelajuan c + v diukur dari S. Tetapi bertentangan dengan postulat di atas “akal sehat“ bukanlah metupakan suatu panduan yang bisa dipercaya dalam ilmu seperti juga dalam bidang lain, dan kita harus bersandar pada persamaan transformasi Lorentz untuk mendapatkan skema yang benar untuk penjumlahan kecepatan.






Jawaban soal-soal bab RELATIVITAS

1.    tp = 1,25 × 10-8 ,karena pengamat diam bersama partikel
   t =to
   t =1,25 × 10-8 × 0,6
   t =7,5 × 10-9

2.    Waktu yang diperlukan lonceng dalam kapal agar berbeda 1 detik dengan lonceng di bumi.
v = 300 m/s =
= 1 detik

3.    Kelajuan Roket  V Dapat Dicari Dari Persamaan
    t =
   T = 2 hari , to = 1 hari
   2 =         1- =
    =        v = 0,86c

4.   Kelebihan waktu sehari dalam pesawat dibandingkan dengan sehari di bumi
v =
1 hari di bumi = 24 jam
8.    Dalam laboratorium o = 4000 Ǻ, dari galaksi �� = 6000 Ǻ. Jika kecepatan galaksi itu v,maka
V = vO   atau karena v = , maka
  =  
  =
  ( 1+ ) = 1-          = ,maka v =0,38c

11. Tinggi astronaut di bumi = Lo = 6 ft
Kelajuan relatif terhadap bumi = 0,9c
a.) Tinggi astronaut jika diukur oleh pengamat dalam pesawat adalah tetap 6 ft
b.) Tinggi pengamat jika diukur oleh pengamat di bumi adalah = . . . . . ?
 = 2,6 ft

12. Panjang batang meteran = 50 cm = L’
Panjang batang meteran  = 1 meter = Lo
Kelajuan relatif = . . . . . ?

15.       Massa diamnya mO = 100 kg
Massa dalam roket m = 101 kg
       Kelajuan roket v dapat dicari dari persamaan
m =
  =       = 1-
V = 0,1c
8.    dik : EK =
    EK  =
 =
 
             
γ =
 
  .  =1
       =
       =
        
         
        V =   c  = 0,60c
26.  Bentuk hukum 2 newton relativistik
F =  (mv)
F = ()
Atau dengan
F = mO  -1\2+ v)-1\2
F = mO-3\2 ( +),maka
F = mO-3\2 (terbukti)
27. Apakah keberatan yang dapat dikemukakan jika kita definisikan momentum linear p = mov sebagai pengganti dari bentuk yang lebih rumit ?
Jawaban :
Jika p = mov, kejadian dengan momentum kekal, dalam suatu kerangka inesial, jika momentumnya tidak kekal dipandang dari kerangka inersial lain yang relatif bergerak terhadapnya, sehingga momentum bukan merupakan kuantitas yang berguna dalam fisika.

31. Terhadap A:
Kita pakai transformasi kecepatan relativistik
       V =  , bulan akan mendekati A dengan kelajuan v = 0,8c
Menurut klasik B terhadap Aialah 0,8c +0,6c = 1,7c ,tetapi menurut relativistik
       V =   = 0,98c








MODUL 2
SIFAT PARTIKEL DARI GELOMBANG

2.1  GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
     
            Pada tahun 1864 akhli fisika inggris mengemukakan bahwa perubahan medan listrik menimbulkan medan magnetik. Medan listrik yang ditimbulkan oleh imbasan elektromagnetik dapat diperlihatkan dengan mudah karena logan memiliki hambatan listrik yang kecil, medan yang lemah dapat menimbulkan arus listrik dalam logam sehingga dapat diukur. Sedangkan medan magnetik yang lemah sulit diukur.
            Dalam gelombang elektromagnetik, kelajuan gelombang dalam ruang hampa dapat dinyatakan dalam persamaaan :


 



            Dimana  merupakan permeativitas ruang hampa dan  permeabilitas magnetik, hal ini sama dengan laju cahaya. Simpulannya cahaya terdiri dari gelombang elektromagnetik yang dapat ditangkap oleh mata serta memiliki frewensi yang pendek. Dimulai dari  untuk cahaya merah hingga sekitar untuk cahaya ungu
            Sifat karakteristik semua gelombang adalah memenuhi prinsip superposisi yaitu bila dua atau lebih gelombang yang alamnya sama melalui satu titik pada saat yang sama, maka amplitude sesaat disitu ialah jumlah dari amplitude sesaat dari masing masing gelombang.
            Bila dua buah atau lebih deretan gelombang bertemu dalam satu daerah, gelombang itu akan berinterferensi menghasilkan gelombang baru yang amplitude sesaatnya merupakan jumlah dari dari amplitudo sesaat gelombang semula. Interferensi konstruktif (membangun) berarti geelombang tersebut saling menguatkan dengan fase sama sehingga menghasilkan amplitude yang lebih besar sedangkan interferensi destruktif (menghancurkan) berarti gelombang rersebut sebagian atau sepenuhnya saling meniadakan karena fasenya berbeda.

            Eksperimen celah ganda young juga memperlihatkan sifat gelombang dari cahaya,muka gelombang adalah permukaan khayal yang menghubungkan titik dimana gelombang itu berfase sama. Penyebaran gelombang sekunder dari kedua celah seolah berasal dari situ merupakan gejala gelombang kharakteristik yang disebut difraksi. Interferensi konstruktif terjadi pada tempat dimana muka gelombang dari kedua celah itu bertemu.


2.2  EFEK FOTOLISTRIK
            Gejala efek foto listrik terjadi akibat Energi elektron yang dibebaskan cahaya yang bergantung pada frekuensi cahaya. Eksperimen ini merupakan lanjutan eksperimen Hertz yang dijelaskan dalam skema berikut :
 
Terdapatnya efek fotolistrik tidak mmengherankan, sebab gelombang cahaya membawa energi dan sebagian energi yang diserap oleh logam terkontaminasi pada elektron tertentu dan muncul sebagai energi kinetik oleh karena itu fotoelekton dapat dipancarkan dengan segera. Energi fotoelektron dapat bertambah seiring bertambahnya frekwensi cahaya yang datang bukan intensitasnya.
            Dalam hal ini hubungan antara Kmax dan frekwensi v mengandung tetapan pembanding yang dapat dinyatakan dalam bentuk.
Dimana h adalah tetapan nilainya sebesar 6,626 x 10-34 (merupakan tetapan dan tidak bwerubakuntuk logam yang berlainan disinari) dan vo adalah frekwensi ambang.

2.3  TEORI KUANTUM CAHAYA
            Cahaya dengan frekwensi tertentu terdiri dari foton yang energinya berbanding lurus dengan frekwensi itu
            Radiasi kalor yang dipancarkan oleh suatu benda bergantung pada suhunya, makin tinggisuhu suatu benda, makin besar pula energi kalor yang dipancarkan. Joseph Stefan dan Ludwig Boltzman telah melakukan pengukuran laju energi kalor radiasi yang dipancarkan oleh suatu benda, kemudian dikenal dengan Hukum Stefan-Boltzman
Keterangan :
P : daya radiasi (laju energi yang dipancarkan)
Q : energi kalor (J)
t : waktu (t)
σ : konstanta Stefan-Boltzman (5,67 10-8 W/m2 K4)
A : luas permukaan benda (m2)
T : suhu mutlak permukaan benda (K)
 Emisivitas suatu benda menyatakan kemampuan benda untuk memancarkan radiasi kalor, semakin besar emisivitas maka semakin mudah benda tersebut memancarkan energi. Benda hitam sempurna memiliki emisivitas (e = 1) yaitu benda yang dapat menyerap semua energi kalor yang datang dan dapat memancarkan energi kalor dengan sempurna. Energi kuantum
Tetapan plank

2.4  PENGERTIAN CAHAYA

            Cahaya adalah partikel gelombang secara eksplisit (berkaitan dengan frekwensi cahaya) dan merupakan konsep gelombang. Menurut teori kuantum cahaya menyebar dari sumbernya sebagai sederetan energi yang terlokalisasi masing masin cukup kecil sehingga dapat diserap oleh elektron
            Pada tiap kejadian yang khusus, cahaya daat memperihatkan sifat gelomban atau sifat partikel, tidak pernah terjadi sekaligus. Bila cahaya melalui celah cahaya berlaku sebagai gelombang dan ketika tiba di layar cahaya brlaku sebagai partikel.


2.5  SINAR-X
            Dalam tahun 1895 wilhelm rontgen mendapatkan bahwa radiasi yang kemampuan tembusnya dan sifatnya belum diketahui ditimbulkan jika elektron cepat menumbuk materi. Jadi sinar–x merupakan gelombang elektromagnetik yang berfrekuensi tinggi.
Produksi sinar-x:

Prinsip difraksi Sinar X
·       Sinar X terpancar dari tabung Sinar X.
·       Difraksi sinar X yang konvergen diterima slit.
·       Sinar X diterima detektor,
·       diubah menjadi sinyal listrik.
·       Sinyal ini dihitung sebagai analisa pulsa tinggi.    
·       Interaksi Sinar X dengan material
·       Energi berkas Sinar X terserap oleh atom.
  • Energi berkas Sinar X dihamburkan oleh atom

sinar-x


2.6  EFEK COMPTON

Arthur Holy Compton mempelajari gejala tumbukan antara foton dan elektron· Setelah terjadi tumbukan antara foton dengan elektron, maka foton kehilangan energinya sebesar
DE = hf - hf '
panjang gelombang setelah tumbukan bertambah besar (l‘ > l)
· berdasarkan hukum kekekalan energi dan hukum kekekalan momentum diperoleh :
      : panjang gelombang foton setelah tumbukan (m)
        : panjang gelombang foton sebelum tumbukan (m)
h          : konstanta Planck (6,626 . 10-34 Js)
m         : massa elektron (me = 9,1 . 10-31 kg)
c          : kecepatan cahaya (c = 3 . 108 m/s)
        : sudut hamburan (sudut penyimpangan arah foton setelah tumbukan terhadap arah mula-mula)disebut sebagai “panjang gelombang Compton”

2.7  PRODUKSI PASANGAN
            Proses produksi pasangan hanya terjadi bila foton datang / 1,02 MeV. Apabila foton semacam ini mengenai inti atom berat, foton tersebut akan lenyap dan sebagai gantinya timbul sepasang elektron-positron. Positron adalah partikel yang massanya sama dengan elektron dan bermuatan listrik positif yang besarnya juga sama dengan muatan elektron.

Oleh karena itu proses ini hanya bisa berlangsung bilamana energi foton yang datang minimal adalah massa diam elektron dan c adalah kecepatan cahaya.
Berkaitan dengan uraian ini maka nilai atau besaran absorpsi akan bergantung pada energi foton yang datang disamping bergantung pada jenis media/materi/zat yang dilaluinya atau bergantung pada nomor atom (Z) media/materi yang dilaluinya.

2.8  FOTON DAN GRAFITAS
Cahaya memiliki evek grafitas. Walaupun foton memiliki masa diam, tetapi ketika bertumbukan foton seakan memiliki massa.
Energi potensial sebuah massa m pada permukaan bintang adalah
Maka jumlah energi kuantumnya adalah





























MODUL 3
SIFAT GELOMBANG DARI PARTIKEL
3.1    GELOMBANG DE BROGLIE
Berdasarkan ide yang dikemukakan oleh Einstein, sebuah foton dengan energi hv (frekuensi v dan panjang gelombang λ) memiliki momentum linear searah dengan arah pergerakannya dan dengan besarannya p yang dinyatakan sebagai berikut
          
Sifat gelombang dari sebuah elektron disebut sebagai gelombang elektron dan secara umum sifat gelombang dari materi disebut sebagai gelombang materi atau gelombang de Broglie,karena pada tahun 1942 de broglie mengusulkan bahwa materi mempunyai sifat gelombang di samping sifat partikel. Panjang gelombang λ untuk gelombang materi diberikan oleh persamaan berikut, di mana juga ekivalen dengan persamaan di atas :

karena  maka panjang gelombang de Broglienya adalah

           


3.2    FUNGSI GELOMBANG

Kuantitas variabel yang memberi karakteristik gelombang de broglie di sebut fungsi gelombang yang di beri lambang Ψ (huruf yunani psi). Harga fungsi gelombang yang berikatan dengan sebuah benda bergerak pada suatu titik tertentu x, y,z dalam ruang pada saat t bertautan dengan peluang untuk mendapatkan benda tersebut di tempat tersebut pada saat t.Namun Ψ sendiri tidak memiliki arti fisis lansung.
Untuk |Ψ|2, kuadrat dari harga mutlak fungsi gelombang yang dikenal sebagai kerapatan peluang. Peluang untuk secara eksperimental mendapatkan benda yang diberikan oleh fungsi gelombang Ψ pada titik x, y, z, pada saat t berbanding lurus dengan harga |Ψ|2  di tempat itu pada saat t.Harga |Ψ|2  yang besar menyatakan pelusng yang besar untuk mendapatkan benda itu,sedangkan harga |Ψ|2 yang kecil menyatakan peluang yang kecil untuk mendapatkan benda itu. Selama |Ψ|2 tidak nol,terdapat peluang mendapatkan benda tersebut di situ.

3.3    KECEPATAN GELOMBANG DE BROGLIE
Bila kita beri lambang kecepatan de broglie w ,maka kita peroleh rumus:


Untuk menentukan harga w. panjang gelombang  merupakan panjang gelombang de broglie :

Dan untuk mendapatkan frekuensinya,maka kita menyamakan pernyataan kuantum  dengan rumus relativitik untuk energi total  untuk mendapatkan :

Sehingga kecepatan gelombang de broglienya menjadi :


Kecepatan partikel v harus lebih besar dari kecepatan cahaya c, dan kecepatan de broglie w lebih besar dari kecepatan cahaya.

3.4        KECEPATAN FASE DAN KECEPATAN GROUP

Group gelombang ialah dengan menyatakannya sebagai superposisi dari gelombang induvidual yang mempunyai panjang gelombang berbeda-beda yang interferensinya menghasilkan variasi amplitude yang mendefinisikan bentuk group gelombang.




Gambar gelombang group


 


                                             



Untuk menghitung kecepatan group gelombang anggaplah group gelombang timbul dari kombinasi dua gelombang yang beramplitude sama A,tetapi frekuensi sudutnya berbeda dω dan dk












 












Kecepatan fase besarnya


 


Kecepatan group gelombang


 
  


frekuensi sudut dan bilangan gelombang dari gelombang de Broglie yang berpautan dengan sebuah benda yang massa diamnya m0 yang bergerak dengan kecepatan v ialah







 








kecepatan group u dari gelombang de Broglie yang berkaitan dengan benda itu adalah





 












Sehingga kecepatan groupnya menjadi u = v

3.5  DIFRAKSI PARTIKEL

Ø  Pada tahun 1927 Davisson dan Germer di AS dan G.P.Thomson di Inggris secara bebas meyakinkan hipotesis de Broglie dengan menunjukkan berkas elektron terdifraksi bila berkas itu dihamburkan oleh kisi atom yang teratur dari suatu kristal.
Ø  Hipotesis de Broglie mendorong tafsiran bahwa gelombang elektron didifraksikan oleh target sama seperti sinar-x didifraksian oleh bidang-bidang atom dalm kristal.
Ø  Pada suatu percobaan tertentu berkas elektron 54eV diarahkan tegak lurus pada target nikel, dan maksimum yang tajam dalam distribusi elektron terjadi pada suhu 500 dari berkas semula. Sudut datang dan sudut hambur relatif terhadap suatu keluarga bidang Bragg keduanya bersudut 650. jarak antara bidang dalam keluarga itu yang bisa melalui difraksi sinar x ialah 0,91 Å.


3.6  PARTIKEL DALAM KOTAK
Sifat gelombang partikel bergerak mengarah pada konsekuensi yang jelas jika partikel out dibatasi pada suatu daerah tertentu dalam ruang yang dapat bergerak bebas. Kasus yang tersederhana ialah suatu partikel yang terpantul bolak-balik antara dinding kotak. Kita akan menganggap dinding kotak itu keras sekali, sehingga partikelnya tidak kehilangan energi setiap kali partikel itu menumbuk dinding dan kecepatannya cukup kecil sehingga kita dapat mengabaikan konsiderasi reletivistik.
Panjang gelombang de Broglie yang mungkin dari pertikel dalam kotak ditentukan oleh lebar kotak L.
Panjang gelombang yg terbesar ditentuka olh ג=2L, berikutnya olh ג=L, kemudian ג=2L/3,dan seterusnya.

                                 n=1,2,3,….

energi kinetik sebuah partikel bermomentum ialah



 



Karena גh/mv, mv=h/ג


 



Panjang gelombang yang diijinkan ialah גn=2L/n,dan karena paaartikel itu tidak memiliki energi potensial dalam model ini,maka energi yang bisa dimilikinya ialah


 
                                                  n=1,2,3,……….


SOAL: carilah tingkat energi sebuah elektron dalam kotak yang lebarnya 1 Å.
Pemecahan: m = 9,1 x 10-31 kg dan L = 1 Å = 10-10 m,sehingga energi elektron yang diijinkan ialah



 





3.7    PRINSIP KETAKTENTUAN
Apabila sebuah partikel bergerak, maka partikel tersebut akan dipandang sebagai group gelombang de broglie. Pada suatu kuantitas yang terlokalisasi menimbulkan batas dasar pada ketepatan pengukuran sifat partikel. Partikel yang dapat kita ukur misalnya : kedudukan momentum.
Jika group gelombang itu sempit,kedudukan partikel itu terdifinisikan lebih baik, tetapi  panjang gelombangnya sukar ditentukan. Karena terdapat hubungan timbal balik antara ketaktentuan (ketakpatian) kedudukan yang inheren Δx dari partikel itu dan ketaktentuan momentumnya yang inheren Δp : bertambah kecilnya Δx, maka  harus bertambah besar dan sebaliknya.Analisis yang formal mendukung kesimpulan tersebut dan membuat kita mampu untuk menyatakannya secara kuantitatif. Contoh yang paling sederhana dari pembentukan group gelombang diberikan pada gambar 3.4, disitu dua gelombang berjalan dengan frekuensi sudut ώ yang sedikit berbeda dan bilangan gelombang k disuperposisikan menghasilkan sederet group gelombang seperti dalam gambar 3.4.Sebuah benda bergerak yang bersesuaian dengan suatu group gelombang tunggal, (bukan barisan dari group gelombang), tetapi group gelombang tunggal dapat juga dipikirkan sebagai superposisi dari gelombang harmonik
Ø   Pada suatu waktu tertentu (t),group gelombang ψ(x) dapat dinyatakan dengan integral fourier.
Dengan fungsi g ( k ) menggambarkan amplitudo gelombang yang memberi sumbangan ( kontribusi ) pada ψ ( x );g(x) berubah terhadap bilangan gelombang k fungsi ini disebut transform fourier dari ψ ( x ) dan memberi spesipikasi  pada group gelombang sama lengkapnya seperti yang diberi oleh ψ ( x ).
Bilangan gelombang yang diperlukan untuk menyatakan suatu group dari k = 0 hingga k =  ∞ , tetapi untuk group yang panjangnya berhingga , gelombang yang amplitudo g ( k ) nya besar; memiliki bilangan gelombang yang terletak dalam selang yang berhingga k.
Hubungan antara jarak Δx dan pelebaran bilangan gelombang bergantung dari bentuk group gelombang dan bergantung dari cara Δx dan Δk didefinisikan. Harga perkalian Δx dikali k yang minimum terjadi jika group gelombang berbentuk fungsi gaussian. Dalam hal ini, ternyata transform fouriernya juga merupakan fungsi gaussian. Jika Δx dan Δk diambil deviasi standar dari fungsi ψ (x) dan g(k)
harga minimum Δx Δk =      hubungan antara Δx dan Δk  dinyatakan sebagai berikut:


 


Ø  Panjang gelombang de broglie untuk sebuah partikel bermomentum p ialah :


 


Ø  Oleh karena itu ketidakpastian Δk dalam jumlah gelombang pada gelombanggelombang broglie berhubungan dengan hasil-hasil partikel dalam suatu ketidakpastin Δp dalam momentum partikel menururt rumus beikut :







 
Ø  Karena Δx Δk              ,maka Δx                dan


 


Persamaan merupakan salah satu bentuk prinsip ketaktentuan (ketakpastian) yang diperoleh Werner Heisenberg pada tahun 1927. Persamaan ini menyatakan perkalian ketaktentuan kedudukan benda Δx pada suatu saat dan ketaktentuan komponen momentum dalam arah Δx yaitu Δp pada saat yang sama lebih besar atau sama dengan h/4π
Kuantitas h/2π sering muncul pada fisika modern, karena kuantitas ini merupakan dasar dari momentum sudut dan disingkat h/2π dengan lambang ħ :

ħ sebagai pengganti dari h/2π. Dinyatakan dalam ħ prinsip ketaktentuan menjadi :


 


Misalnya kita bisa memeriksa elektron dengan pertolongan cahaya panjang gelombang λ, seperti pada gambar 3-13. Dalam proses ini proton cahaya menumbuk elektron dan terpantul kearah lain. Setiap foton memiliki momentum h/λ. Apabila foton itu bertumbukan dengan elektron,maka momentum semula (p) akan mengalami perubahan. Perubahan yang tepat tidak bisa diramalkan,akan tetapi perubahan tersebut mempunyai orde yang besarnya sama dengan momentum foton h/λ. Jadi pengukuran telah menimbulkan ketaktentuan pada momentum elektron.


 


Cahaya memiliki sifat gelombang,kita tidak dapat menentukan kedudukan elektron dengan ketepatan tak berhingga dalam segala keadaan, tetapi kita dapat mengharapkan secara nalar untuk mempertahankan ketaktentuan tak tereduksi Δx dari keudukannya. Panjang gelombang  dari cahaya yang dipakai seperti :
                                   
                                    Δx ≈ λ
Apabila panjang gelombang lebih kecil maka, ketaktentuan dari kedudukan elektron itu juga mempunyai nilai yang lebih kecil.
λ = Δx disubsitusikan kedalam persamaan  Δp =h/λ menjadi
                                    Δx Δp ≈ h

3.8    PEMAKAIAN PRINSIP KETAKTENTUAN
Tetapan Planck h berharga sangat kecil yaitu                        sehingga pembatas yang ditimbulkan prinsip ketaktentuan hanya penting dalam dunia atom. Perlu diingat bahwa batas bawah ħ/2 untuk Δx Δp sangat jarang dicapai sehingga, Δx Δp ≈ ħ atau                               
                                                Δx Δp ≈ h.
Bentuk lain dari prinsip ketaktentuan. Apabila kita ingin mengukur energi E yang  sama dengan bilangan yang kita hitung dibagi dengan selang waktu, ketaktentuan frekuensi (Δv) seperti :


 
                                  
Ø  Ketaktentuan energi yang bersesuaian  ialah :
ΔE = h Δv
Sehingga ;


Atau

Ø  Perhitungan yang lebih teliti berdasarkan sifat group gelombang merubah hasil tersebut menjadi :


 


Sehingga, perkalian ketaktentuan pengukuran energi ΔE dan ketaktentuan waktu Δt selama pengukuran itu dilakukan harus sama atau lebih besar dari ħ/2.


Soal :
1.       Atom hidrogen berjejari menggunakan prinsip ketaktentuan untuk memperkirakan energi elektron yang dimilikinya dalam atom itu.

Penyelesaian :
Dik
:Δx =                   
 ħ =  
Dit : Δp…….?


 
Jawab



 




v Elektron yang momentumnya sebesar itu bertindak sebagai partikel klasik dan energi kinetiknya adalah :




 

2.   Cari panjang gelombang de broglie dari sebutir pasir 1 mg yang ditiup angin dengan kelajuan 20 m/s.

Penyelesaian :
dik: m = 1 x 10-6 kg
        v = 20 m/s
dit: λ = .........?

   =
   = 0,3315 x 10-28 m
   = 3,315 x 10-29 m
   = 3,315 x 10-19 Ǻ


3.     Cari panjang gelombang de broglie sebuah proton 1 MeV. Karena massa diam proton 938 MeV/C2 , perhitungan dapat dilakukan dengan non relativistik.

Penyelesaian :
dik: energi kinetik = 1 Mev
        energi diam (m0C2) = 938 Mev/C2
        maka perhitungan dapat dilakukan dengan non relativistik
dit: λ = ............?
m = 938 MeV/C2
= 1,667.10-27 Js/m

E = ½ mv2
1 MeV = ½ . 938 MeV/C2.V2
1 MeV = 469 MeV/(3x108)2 . V2

           
= 0,7172 x 10-7 Ǻ
4.     Tunjukkan panjang gelombang de broglie molekul oksigen dalam kesetimbangan termal dalam atmosfer bertemperatur 200 C lebih kecil dari diameternya ~ 4 x 10-10 m.

Penyelesaian :
Dik: T = 293 K
K = 1,38 x 10-23 J/K
 m0 = 32 x1,66 x 10-27 kg = 5,312 x 10-26 kg

1/2mv2 = 3/2KT
½ . 5,312 . 10-26 kg.v2 = 3/2 . 1,38.10-23 J/K . 293 K
2,056 x 10-26 kg. V2 = 6,0651 x 10-21 J


= 2,61 x 10-11 m
=2,61 x 10-1 Ǻ
= 0,261 Ǻ


5.     Sebuah foton dan sebuah partikel memiliki panjang gelombang sama. Dapatkah kita mengatakan sesuatu bagaimana perbandingan momentum linearnya ? bagaimana perbandingan energi foton dengan energi total partikel ? bagaimana perbandingan energi foton dengan energi kinetik partikel ?


Penyelesaian :
λfoton = λpartikel = λ
momen linearnya :
foton:
partikel:
Pf  = Pp = P

Energi totalnya:
Foton:
Partikel:

Energi kinetiknya:
Foton:
Partikel:

Energi total partikel umumnya jauh lebih besar dari energi foton itu karena umumnya v << c. Energi kinetik partikel jauh lebih kecil dari energi kinetik foton karena umumnya v << c.


6.     Kecepatan fase riak pada permukaan cairan ialah , dengan S menyatakan tegangan permukaan dan ρ kerapatan cairan. Cari kecepatan group riak tersebut.

Penyelesaian :
Kecepatan fase riak gelombang
W = ;

Kecepatan groupnya ialah


7.     Energi terendah yng mungkin dimiliki sebuah partikel  yang terperangkap dalam sebuah kotak ialah 1 eV. Berapakah energi dua tingkat berikutnya yang dapat dimiliki partikel itu ?

Penyelesaian :
dik: E1 = 1 eV = 1,6 x 10-19 J
dit: E2 dan E3

E2 = 22 . E1 = 4 eV
E3 = 32 . E1 = 9 eV

8.     Carilah bentuk tingkat energi (dalam MeV) sebuah newtron dalam kotak 1 dimensi yang lebarnya 10-14 m. Berapakah energi minimum newtron ? (diameter inti atomik berorde besar sama dengan lebar tersebut).

Penyelesaian :
Dik: L = 10-14 m
Dit: energi minimum newtron

Untuk energi minimum, maka n = 1 maka En = 2,05 MeV


9.     Bandingkan ketaktentuan kecepatan sebuah elektron dan sebuah proton yang terperangkap dalam kotak 10 Ǻ.

Penyelesaian :
∆x ∆p ≈ h
Dalam kotak 10 Ǻ = ∆x ≈ 10 Ǻ
= 10 x 10-10 m
∆p ≈

Untuk elektron
v ≈ 7,29 x 105 m/s

Untuk proton


10.  Atom dalam zat padat memiliki suatu harga minimum energi titik nol walaupun pada 0 K, sedangkan tidak terdapat pembatasan seperti itu pada molekul gas ideal. Gunakan prinsip ketaktentuan untuk menerangkan pernyataan tersebut.

Penyelesaian :
Masing-masing atom dalam zat padat letaknya terbatas pada daerah tertentu. Jika tidak demikian kumpulan atom itu tidak membentuk zat padat. Jika ketaktentuan kedudukan masing-masing atom berhingga, sehingga momentum dan juga energinya tidak sama denngan nol. Kedudukan sebuah molekul gas ideal tidak dibatasi, sehingga ketaktentuan dalam kadudukannya secara efektif tak berhingga, sehingga momentumnya, dan juga energinya berharga nol.











MODUL 4

ATOM
4.1 MODEL ATOM
4.1.1 Model Atom Thomson
JJ. Thomson
Kelemahan dari Dalton diperbaiki oleh JJ. Thomson, eksperimen yang dilakukannya tabung sinar kotoda. Hasil eksperimennya menyatakan ada partikel bermuatan negatif dalam atom yang disebut elektron.
Thomson mengusulkan model atom seperti roti kismis atau kue onde-onde. Suatu bola pejal yang permukaannya dikelilingi elektron dan partikel lain yang bermuatan positif sehingga atom bersifat netral.

Model atom Thomson seperti roti kismis
Kelemahan model Thomson ini tidak dapat menjelaskan susunan muatan positif dan negatif dalam bola atom tersebut. 



4.1.2 Model Atom Rutherford
Rutherford
Eksperimen yang dilakukan Rutherford adalah penembakan lempeng tipis dengan partikel alpha. Ternyata partikel itu ada yang diteruskan, dibelokkan atau dipantulkan. Berarti di dalam atom terdapat susunan-susunan partikel bermuatan positif dan negatif.
Hipotesa dari Rutherford adalah atom yang tersusun dari inti atom dan elektron yang mengelilinginya. Inti atom bermuatan positif dan massa atom terpusat pada inti atom.

Model atom Rutherford seperti tata surya
Kelemahan dari Rutherford tidak dapat menjelaskan mengapa elektron tidak jatuh ke dalam inti atom. Berdasarkan teori fisika, gerakan elektron mengitari inti ini disertai pemancaran energi sehingga lama - kelamaan energi elektron akan berkurang dan lintasannya makin lama akan mendekati inti dan jatuh ke dalam inti
Ambilah seutas tali dan salah satu ujungnya Anda ikatkan sepotong kayu sedangkan ujung yang lain Anda pegang. Putarkan tali tersebut di atas kepala Anda. Apa yang terjadi? Benar. Lama kelamaan putarannya akan pelan dan akan mengenai kepala Anda karena putarannya lemah dan Anda pegal memegang tali tersebut.
Karena Rutherford adalah telah dikenalkan lintasan/kedudukan elektron yang nanti disebut dengan kulit.

4.1.3 Model Atom Niels Bohr  
Kelemahan dari Rutherford diperbaiki oleh Niels Bohr dengan percobaannya menganalisa spektrum warna dari atom hidrogen yang berbentuk garis.
Hipotesis Bohr adalah :   a. Atom terdiri dari inti yang bermuatan positif dan dikelilingi oleh elektron yang bermuatan negatif di dalam suatu lintasan.   b. Elektron dapat berpindah dari satu lintasan ke yang lain dengan menyerap atau memancarkan energi sehingga energi elektron atom itu tidak akan berkurang.
Jika berpindah lintasan ke lintasan yang lebih tinggi maka elektron akan menyerap energi. Jika beralih ke lintasan yang lebih rendah maka akan memancarkan energi.   Model atom Bohr digambarkan sebagai berikut  

Model atom Bohr
Kelebihan atom Bohr adalah bahwa atom terdiri dari beberapa kulit untuk tempat berpindahnya elektron. Kelemahan model atom ini adalah: tidak dapat menjelaskan spekrum warna dari atom berelektron banyak. Sehingga diperlukan model atom yang lebih sempurna dari model atom Bohr.
Apakah Anda sudah memahami uraian materi pada kegiatan belajar 1 ini?
Silahkan Anda kerjakan latihan berikut ini untuk mengetahui pemahaman materi yang telah dipelajari.

5.1  TINGKATAN ENERGI ELEKTRON DALAM ATOM HIDROGEN

Model Bohr hanya akurat untuk sistem satu elektron seperti atom hidrogen atau helium yang terionisasi satu kali. Bagian ini hendak menurunkan rumusan tingkat-tingkat energi atom hidrogen menggunakan model Bohr.
Penurunan rumus didasarkan pada tiga asumsi sederhana:
1) Energi sebuah elektron dalam orbit adalah penjumlahan energi kinetik dan energi potensialnya:

dengan k = 1 / (4πε0), dan qe adalah muatan elektron.
2) Momentum sudut elektron hanya boleh memiliki harga diskret tertentu:
dengan n = 1,2,3,… dan disebut bilangan kuantum utama, h adalah konstanta Planck, dan .
3) Elektron berada dalam orbit diatur oleh gaya coulomb. Ini berarti gaya coulomb sama dengan gaya sentripetal:
Dengan mengalikan ke-2 sisi persamaan (3) dengan r didapatkan:
Suku di sisi kiri menyatakan energi potensial, sehingga persamaan untuk energi menjadi:
Dengan menyelesaikan persamaan (2) untuk r, didapatkan harga jari-jari yang diperkenankan:
Dengan memasukkan persamaan (6) ke persamaan (4), maka diperoleh:
Dengan membagi kedua sisi persamaan (7) dengan mev didapatkan
Dengan memasukkan harga v pada persamaan energi (persamaan (5)), dan kemudian mensubstitusikan harga untuk k dan , maka energi pada tingkatan orbit yang berbeda dari atom hidrogen dapat ditentukan sebagai berikut:


Dengan memasukkan harga semua konstanta, didapatkan,
Dengan demikian, tingkat energi terendah untuk atom hidrogen (n = 1) adalah -13.6 eV. Tingkat energi berikutnya (n = 2) adalah -3.4 eV. Tingkat energi ketiga (n = 3) adalah -1.51 eV, dan seterusnya. Harga-harga energi ini adalah negatif, yang menyatakan bahwa  berhubungan dengan atom yang berada dalam keadaan terionisasi yaitu ketika elektron tidak lagi terikat, tetapi dalam keadaan tersebar.
5.2  HAMBURAN PARTIKEL ALFA
Konsep atom mula-mula dikemukakan oleh Democritus, seorang filosof Yunani yang hidup pada abad ke-3 sebelum masehi (460-370 SM). Pada saat itu berdasarkan pemikirannya tanpa disertai dengan eksperimen, Democritus menyatakan bahwa atom adalah bagian terkecil dari suatu zat atau materi yang tidak dapat dibagi-bagi lagi. Berdasarkan eksperimen yang lebih rinci, teori tentang atom mulai dikembangkan pada abad-abad berikutnya.
Barulah pada awal abad ke-19, teori atom berhasil dirumuskan. Berdasarkan eksperimen yang dilakukannya, Dalton merumuskan teori tentang atom yang dikenal dengan teori atom Dalton. Teori atom Dalton menjadi dasar dalam perkembangan ilmu kimia, ilmu tentang unsur dan perubahannya. Melalui percobaan tetes minyak, Robert Millikan dapat menentukan besar muatan listrik fundamental (yang paling kecil) dari zat. Diyakini bahwa muatan total dari zat merupakan kelipatan bulat dari nilai muatan fundamental ini. di kemudian hari muatan fundamental ini ditetapkan sebagai muatan listrik dari sebuah elektron. Di pihak lain, J J Thomson melalui percobaannya dapat menentukan rasio muatan dan massa (nilai e/m) dari elektron. Dua Penemuan ini menguak sedikit fakta bahwa atom masih mengandung struktur yang lebih mendasar. Atom tidaklah sesederhana seperti yang diperkirakan semula.
Eksperimen tetes minyak Millikan
Model atom Thomson mencoba melihat lebih detail struktur atom dengan menyatakan bahwa atom terdiri atas materi bermuatan positif yang mengandung elektron di dalamnya. Ini dapat dibayangkan seperti kue cookies yang ditaburi kismis. Model ini didasarkan pada hasil eksperimen tetes minyak Millikan dan percobaan Thomson yang menemukan fakta bahwa terdapat elektron yang bermuatan negatif yang mengisi bagian dari atom.
Model atom Thomson
Melalui percobaan hamburan partikel alfa, Rutherford melangkah maju dalam usaha untuk memahami struktur atom. Dalam percobaan hamburan partikel alfa, partikel alfa yang ditembakkan ke lempeng emas sebagian besar menembus lempeng tersebut dan

Sedikit saja yang dibelokkan, namun yang mengejutkan adalah ada juga partikel alfa yang dipantulkan kembali ke arah semula. hasil eksperimen dimana ada sebagian partikel alfa yang dipantulkan kembali ditafsirkan oleh Rutherford dengan menyatakan bahwa terdapat bagian yang sangat masif di dalam atom yang mengandung sebagian besar massa atom tersebut. Bagian ini disebut inti atom yang memiliki massa 99% dari massa atom.
Berdasarkan hasil percobaan hamburan partikel alfa, Rutherford mengemukakan gagasannya tentang struktur atom. Model atom Rutherford menyatakan bahwa atom terdiri atas inti atom dengan elektron yang berputar mengelilinginya dalam lintasan atau orbit. Ini dapat dibayangkan seperti tatasurya dimana inti atom sebagai matahari dengan elektron-elektron sebagai planet yang berputar mengelilinginya.

model atom Rutherford

5.3  DIMENSI INTI
Jika kita katakana bahwa data hasil experimental hamburan partikel alfa oleh selaput tipis membuktikan anggapan bahwa inti atomic merupakan partikel-titik, arti yang sebenarnya ialah di mensi inti dapat di abaiakn trehadap jarak minimum yang dipakai untuk mendekati inti oleh partikel alfa. Jadi hamburan Rutherford mengijinkan kita untu menentukan batas atas dimensi inti. Hitung jarak pendekatan terpendek ro dari sebagian besar partikel alfa yang energetic yang di pakai pada eksperimen terdahulu. Partikel alfa akan mempunyai ro terkecil jika mendekati inti bertatatpan yang akan diikuti dengan hamburan        . Pada saaat pendekata terpendek energi kinetic awal K dari partikel seluruhnya di ubah menjadi energi potensial listrik, sehingga pada saat itu.








 






Karena muatan partikel alfa 2e dan muatan inti Zejadi








 




Harga K maksimum yang di dapati pada partikel alfa yang di dapati secaraalamiah ialah 7,7 MeVyaitu sama dengan


 



Bilangan atomic emas untuk selaput emas yang biasa ialah Z=79 sehingga



 



Jadi jejari inti emas kurang dari                                lebih kecil dari 1/1000 jejari atom secara keseluruhan .


5.1  ORBIT ELEKTRON

Model atom rutherford yang telah diteguhkan oleh eksperimen, memberi gambaran sebuah inti bermuuatan positif yang kecil dan massif yang dilingkungi pada jarak yang relatif besar oleh elektron  sehingga  atom secara keseluruhan bermuatan netral.model atom Bohr, elektron tidak dapat diam, karena tidak ada sesuatupun yang dapat mempertahankannya ditempatnya melawan gaya tarikan listrik dari inti.inilah kelemahan model atom Rutherford dan kemudian disempurnakan oleh Bohr.
Rumus energi elektron :
E =
   = -

Energi total elektron bertanda negatif ; hal ini berlaku untuk setiap elektron atomik, dan mencerminkan bahwa elektron itu terikat pada inti.jika E lebih besar dari nol, elektron tidak akan mengikuti orbit tertutup disekeliling inti.( sebenarnya energi E bukan hanya milik elektron saja tetapi merupakan milik sitem elektron  + inti.
Hukum gerak Newton dan hukum Coulomb mengenai gaya listrik keduanya merupakan tonggak fisika klasik – dan sesuai dengan pengamatan atom.Namun tidak sesuai dengan teori elektron magnetik – tonggak lain dari fisika klasik yang menyatakan bahwa muatan listrik yang dipercepat memancarkan energi dalam bentuk gelombang elektromagnetik.ketika teori ini dites secara langsung, ramalan teori elektromagnetik selalu cocok dengan eksperimen. Kontradiksi ini hanya mungkin berarti satu hal : hukum fisika yang berlaku dalam dunia makroskopik tidak berlaku dalam duna mikroskopik atom. Penyebab kegaglaan  fisika klasik untuk mengghadilka analisis struktur atomik yang berarti ialah kenyataan fisika klasik menghampiri alam secara eksklusif dalam konsep abstrak partikel ˝murni ˝dan “gelombang murni’. Partikel dan gelombang mempunyai mempunyoai banyak sifat yang sama, walaupun kecilnya tetapan Planck menyebabkan dualitas partikel – gelombang tidak teramati dalam dunia makroskopik. Kesalahan fisika klasik menurun ketika skala gejala dipelajari menurun, dan model atomik Bohr menggabungkan pengertian klasik dan modern.


5.1  SPEKTRUM ATOMIK
Kemantapan teori atom Bohr untuk menerangkan asal usul garis spektrum merupakan salah satu hasil yang menonjol, sehingga dirasakan pantas untuk memulai membuka teori itu dengan menerapkannya pada spektrum atomik. Zat padat dan zat cair pada setiap temperatur memancarkan radiasi  dimana setiap panjang – gelombang terdapat,walaupun dengan intensitas yang berbeda – beda. Radiasi ini dapat diterangkan atas dasar teori kuantum cahgaya tak bergantung dari perincian proses radiasi itu sendiri atau dari sifat materialnya. Atom atau molekul pada gas bertekanan rendah berjarak rata – rata cukup jauh sehingga interaksi hanya terjadi pada saat tumbukan yang kadang – kadang terjadi. Jika gas aomik atau uap atomik yang bertekanan sedikit dibawah tekanan atmosfer “dieksitasikan “, biasanya dengan melakukan arus listrik, radiasi yang dipancrkan mempunyai spektrum yang berisi hanya panjang-gelombang tertentu saja.
Spektrometer yang sesungguhnya memakai kisi difraksi menunjukkan spektrum atomik untuk beberapa unsur; spektrum seperti itu disebut spektrum garis emisi.. spektrum gas molekular atau uap molekular berisi pita-pita yang terduri dari banyak sekali garis yang terletak sangat berdekatan (Gambar 4-13). Pita timbul dari rotasi dan vibrasi atau getaran atom dalam molekul yang tereksitasi elektronis. (Gambar 4-14). Bila cahaya putih dilewatkan melalui gas, ternyata gas itu akan menyerap cahaya dengan panjang gelombang tertentu dari panjang – gelombang yang terdapat pada spektrum emisi.spektrum garis absorpsi yang terjadi terdiri dari latar belakang yang terang ditumpangi oleh garis gelap yang bersesuaian dengan panjang gelombang yang diseerap. Panjang gelombang yang terdapat pada spektrum atomik jatuh pada kumpulan tertentu yang disebut deret spektral. Panjang gelombang dalam setiap deret dapat dispesifikasikan dengan rumus empiris yang sederhana dengan keserupaan yang mengherankan antara rumusan dari berbagai deret yang menyatakan spektrum lengkap suatui unsur. Deret spektral pertama yang serupa itu didapatkan oleh J.J. Balmer dalam tahun 1885 ketika ia mempelajari bagian tampak dari spektrum hidrogen.
Rumus Balmer untuk panjang gelombang dalam deret ini memenuhi
 = R (- )     n = 3,4,5
Kuantitas R, dikenal sebagai tetapan rydberg,
R=1,097 x 10 m
  = 1,097 x 10Ǻ
Deret Balmer hanya berisi panjang gelombang pada bagian tampak dari spektrum hidrogen. Garis spektral hidrogen dalam daerah ultra ungu (ultra violet) dari infra merah jatuh pada beberapa deret lain. Dalam daerah ultra ungu terdapat deret Lyman yang mengandung panjang-gelombang yang ditentukan oleh rumus
      n=2, 3, 4........
Terdapatnya keteraturan yang mengherankan ini dalam spektrum hidrogen, bersamaan dengan keteraturan  yang serupa itu dalam unsur yang lebih kompleks, membuka test yang menentukan untuk teori struktuir atomik.

5.1  ATOM BOHR

      Secara elektrostatika, elektron harus bergerak mengelilingi inti agar tidak tertarik ke inti•Namun berdasarkan fisika klasik benda yang bergerak memutar akan melepaskan energi yang lama kelamaan akan menghabiskan energi elektron itu sendiri Niels Bohr mengungkapkan bahwa dilema diatas dapat dipecahkan oleh teori Planck
Gagasan Bohr dalam menggabungkan teori klasik dan kuantum
      Hanya ada seperangkat orbit tertentu yang diizinkan bagi satu elektron dalam atom hidrogen
      Elektron hanya dapat berpindah dari satu lintasan stasioner ke yang lainnya dengan melibatkan sejumlah energi menurut Planck
      Lintasan stasioner yang diizinkan mencerminkan sifat-sifat elektron yang mempunyai besaran yang khas. Momentum sudut harus merupakan kelipatan bulat dari h/2p atau menjadi nh/2p.

      Menurut model atom bohr, elektron-elektron mengelilingi inti pada lintasan-lintasan tertentu yang disebut kulit elektron atau tingkat energi. Tingkat energi paling rendah adalah kulit elektron yang terletak paling dalam, semakin keluar semakin besar nomor kulitnya dan semakin tinggi tingkat energinya
      Model Bohr untuk atom hidrogen bukan jalan yang ditempuh Bohr,tetapi sebelumnya sudah diperkenalkan oleh de Broglie,namun hasil yang diperoleh sama.

      Orbit elektron dalam atom hidrogen bersesuaian dengan satu gelombang elektron de Broglie yang titik ujung pangkalnya dihubungkan.
      Keliling orbit lingkaran berjejari r ialah 2πr, jadi dapat kita tuliskan syarat kemantapan orbit sebagai berikut:
           
Marilah kita meninjau pentingnya rumus Rydberg berdasarkan teori kuantum yang diperkenalkan oleh Planck dan Einstein. Hakekat dari proses absorpsi atau emisi cahaya (gelombang elektromagnetik) adalah sebuah proses yang memberikan atau menerima foton hv, di mana hukum kekekalan energi selalu harus dipenuhi. Dengan mengalikan pada kedua sisi di persamaan (1.14) dengan hc dan dengan menggunakan hubungan c = vλ, energi foton hv yang terlibat pada saat penyerapan dan pemancaran cahaya dapat dinyatakan sebagai perbedaan antara dua suku berikut
kuantum01_05h(1.15)
Dalam hubungannya dengan interpretasi efek fotolistrik yaitu bahwa keseimbangan e nergi dari sebuah elektron adalah sama dengan hv, setiap suku baik dikiri maupun dikanan pada persamaan (1.15) berkaitan dengan energi dari keadaan elektron sebelum atau sesudah proses penyerapan atau pemancaran cahaya. Dikarenakan energi sebuah elektron yang ditangkap dalam material adalah negatif sebagaimana dalam kasus pada persamaan (1.10), sebuah rumus untuk tingkat energi dari sebuah elektron dalam atom hidrogen dapat diperoleh sebagai berikut,
kuantum01_05i(1.16)
Di mana n adalah bilangan bulat positif 1, 2, 3,…. Dengan menggunakan persamaan ini untuk tingkat-tingkat energi, persamaan (1.15) dapat diperluas dalam bentuk sebagai berikut dengan asumsi bahwa En > Em.
kuantum01_05j(1.17)
kuantum01_05k
Gambar 1.7 Penyerapan dan pemancaran cahaya dan kondisi dari frekuensi Bohr.
Sebagaimana ditunjukkan oleh anak panah pada Gambar 1.7, pada saat penyerapan cahaya sebuah elektron akan terangkat dari tingkat energi yang lebih rendah ke tingkat energi yang lebih tinggi dan pada saat pelepasan cahaya sebuah elektron akan turun dari tingkat energi yang lebih tinggi ke tingkat yang lebih rendah. Persamaan (1.17) akan menjadi persamaan berikut untuk frekuensi v.
kuantum01_05l(1.18)
Persamaan ini pertama kali diusulkan oleh N.H.D. Bohr pada tahun 1913 dan disebut sebagai kondisi frekuensi Bohr. Sekarang marilah kita memperhatikan arti dari persamaan (1.16) dan Gambar 1.7. Tingkat keadaan elektron pada n = 1 adalah tingkat energi terendah dan disebut sebagai keadaan dasar. Tingkat yang lebih tinggi n ≥ 2 disebut sebagai keadaan tereksitasi. Dalam tingkat n → ∞ energi elektron menjadi 0, dan elektron akan dilepaskan dari gaya tarik-menarik oleh inti. Hal ini berkaitan dengan keadaan ionik (keadaan terionisasi) di mana sebuah proton dan sebuah elektron pada atom dipisahkan pada jarak tak berhingga.

4.8  SPEKTRUM GARIS ATOMIK DAN MODEL ATOM BOHR

4.8.1       Spektrum Garis Atomik

Jika sebuah gas diletakkan di dalam tabung kemudian arus listrik dialirkan ke dalam tabung, gas akan memancarkan cahaya. Cahaya yang dipancarkan oleh setiap gas berbeda-beda dan merupakan karakteristik gas tersebut. Cahaya dipancarkan dalam bentuk spektrum garis dan bukan spektrum yang kontinu.
Kenyataan bahwa gas memancarkan cahaya dalam bentuk spektrum garis diyakini berkaitan erat dengan struktur atom. Dengan demikian, spektrum garis atomik dapat digunakan untuk menguji kebenaran dari sebuah model atom.
Pada tahun 1911, E. Rutherford mengusulkan sebuah model dari struktur atom yang didasarkan pada studi eksperimen tentang partikel α (aliran atom helium) yang dihamburkan oleh lembaran tipis logam seperti lembaran tipis emas. Pada model ini, sebuah atom hidrogen terdiri atas sebuah proton dan sebuah elektron yang berkeliling di sekitar proton.
kuantum01_05q
Gambar Model atom Bohr.
Bohr berhasil menurunkan persamaan untuk tingkat energi dari atom hidrogen pada tahun 1913 dengan memperkenalkan suatu ide baru dalam sistem fisis dari sebuah elektron yang bergerak di sekitar proton pada jarak yang konstan dengan radius r. Gerak m elingkar dari sebuah elektron dengan kecepatan v di sekitar sebuah proton dengan radius r memberikan persamaan berikut yang menghubungkan gaya listrik dari hukum Coulomb dan gaya sentripetal dari gerak melingkar.
kuantum01_05r(1.20)
Di sini, bagian sisi kiri dari persamaan di atas adalah gaya Coulomb dan bagian sisi kanan adalah gaya sentripetal. Secara umum, gaya sama dengan (masa) x (percepatan), berdasarkan hukum Newton tentang gerak. Dalam kasus ini, masa adalah masa elektron m, dan gaya sentripetal adalah v2/ r . Bohr mengasumsikan sebuah kondisi kuantum yang meminta sebuah produk operasi antara momentum (masa, m x kecepatan, v) dengan keliling lingkaran (2πr) sebagai perkalian konstanta Planck, h dengan bilangan bulat.
kuantum01_05s(1.21)
Jika kondisi ini tidak dipenuhi, sistem tidak akan dapat berada pada kondisi yang stabil. Dari persamaan (1.20) dan (1.21), radius dari orbit lingkaran dalam keadaan stasioner diturunkan sebagai berikut,
kuantum01_05t(1.22)
Di sini, aB = ε0 h2 / πme2adalah radius orbital dalam keadaan stasioner pada n = 1 dan disebut sebagai radius Bohr. Nilai dari aB adalah 5.292 x 10-11 m dan jarak ini dapat ditinjau sebagai ukuran dari sebuah atom hidrogen. Energi total E dari sebuah elektron adalah penjumlahan dari energi kinetik mv2/2 dan energi potensialnya U. Energi potensial U(r) dari sebuah elektron di bawah pengaruh gaya Coulomb dalam suku sisi kiri pada persamaan (1.20) dapat diperoleh sebagai berikut. Energi potensial pada jarak tak berhingga U(∞) diambil sama dengan 0 sebagai energi referensi. Kemudian kerja yang diperlukan untuk memindahkan elektron dari jarak r ke jarak tak berhingga terhadap gaya tarik-menarik Coulomb adalah sama dengan U (∞) – U (r )
kuantum01_05u
Dengan menggunakan persamaan (1.20), persamaan energi diperoleh menjadi
kuantum01_05v
Dengan mensubstitusi persamaan (1.22) untuk r, kita mendapatkan sebuah persamaan untuk tingkat energi ke-n, En sebagai berikut
kuantum01_05w(1.23)
Dengan melakukan perbandingan antara persamaan ini dan persamaan (1.16) kita memperoleh perhitungan teoritis dari konstanta Rydberg, R.
kuantum01_05x(1.24)

spektrum garis berbagai gas
spektrum garis berbagai gas
Spektrum garis membentuk suatu deretan warna cahaya dengan panjang gelombang berbeda. Untuk gas hidrogen yang merupakan atom yang paling sederhana, deret panjang gelombang ini ternyata mempunyai pola tertentu yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis. Seorang guru matematika Swiss bernama Balmer menyatakan deret untuk gas hidrogen sebagai persamaan berikut ini. selanjutnya, deret ini disebut deret Balmer.atombohr01

Dimana panjang gelombang dinyatakan dalam satuan nanometer (nm).
Beberapa orang yang lain kemudian menemukan deret-deret yang lain selain deret Balmer sehingga dikenal adanya deret Lyman, deret Paschen, Bracket, dan Pfund. Pola deret-deret ini ternyata serupa dan dapat dirangkum dalam satu persamaan. Persamaan ini disebut deret spektrum hidrogen.
atombohr02Dimana R adalah konstanta Rydberg yang nilainya 1,097 × 107 m−1.
Dalam model atom Rutherford, elektron berputar mengelilingi inti atom dalam lintasan atau orbit. Elektron yang berputar dalam lintasan seolah-olah bergerak melingkar sehingga mengalami percepatan dalam geraknya. Menurut teori elektromagnetik, elektron yang mengalami percepatan akan memancarkan gelombang elektromagnetik secara kontinu. Ini berarti elektron lama kelamaan akan kehabisan energi dan jatuh ke dalam tarikan inti atom. Ini berarti elektron tidak stabil. Di pihak lain elektron memancarkan energi secara kontinu dalam spektrum kontinu. Ini bertentangan dengan kenyataan bahwa atom memancarkan spektrum garis.
Ketidakstabilan elektron dan spektrum kontinu sebagai konsekuensi dari model atom Rutherford tidak sesuai dengan fakta bahwa atom haruslah stabil dan memancarkan spektrum garis. Diperlukan penjelasan lain yang dapat menjelaskan kestabilan atom dan spektrum garis atom hidrogen.
4.8.2   Model Atom Bohr
Model atom Bohr dikemukakan oleh Niels Bohr yang berusaha menjelaskan kestabilan atom dan spektrum garis atom hidrogen yang tidak dapat dijelaskan oleh model atom Rutherford. Model atom Bohr memuat tiga postulat sebagai berikut.
1.     di dalam atom hidrogen, elektron hanya dapat mengelilingi lintasan tertentu tertentu yang diijinkan tanpa membebaskan (melepaskan) energi. Lintasan ini disebut lintasan stasioner dan memiliki energi tertentu yang sesuai.
2.     elektron dapat berpindah dari satu lintasan ke lintasan yang lain. Energi dalam bentuk foton cahaya akan dilepaskan jika elektron berpindah ke lintasan yang lebih dalam, sedangkan Energi dalam bentuk foton cahaya akan diserapkan supaya elektron berpindah ke lintasan yang lebih luar. Energi dilepas atau diserap dalam paket sebesar hf sesuai dengan persamaan Planck.
E = hf
Dimana h adalah konstanta Planck dan f adalah frekuensi cahaya atau foton yang dilepas atau diserap.
3.     lintasan-lintasan stasioner yang diijinkan untuk ditempati elektron memiliki momentum sudut yang merupakan kelipatan bulat dari nilai (nilai ini biasa ditulis juga sebagai ћ)
Model atom Bohr berhasil menjelaskan kestabilan elektron dengan memasukkan konsep lintasan atau orbit stasioner dimana elektron dapat berada di dalam lintasannya tanpa membebaskan energi. Spektrum garis atomik juga merupakan efek lain dari model atom Bohr. Spektrum garis adalah hasil mekanisme elektron di dalam atom yang dapat berpindah lintasan dengan menyerap atau melepas energi dalam bentuk foton cahaya.
Dengan demikian, struktur atom berdasarkan model atom Bohr adalah elektron dapat berada di dalam lintasan-lintasan stasioner dengan energi tertentu. Lintasan elektron dapat juga dianggap sebagai tingkat energi elektron.
Elektron yang berada di lintasan tertentu yang stasioner dengan jari-jari tertentu dikatakan memiliki energi tertentu. Elektron yang berada di lintasan ke-n berada pada jari-jari lintasan dan energi sebagai berikut.
atombohr10
atombohr11

Dalam persamaan ini, jari-jari r dinyatakan dalam satuan nanometer (nm) dan energi E dinyatakan dalam satuan elektron volt (eV).


4.9  GERAK INTI

Elektron dari inti atom hidrogen berputar  pada pusat massanya. Jika m menyatakan massa elektron , M adalah massa inti dan m’ massa tereduksi dari elektron
                   

Kuantitas m’ di sebut massa tereduksi dari elektron karena harganya lebih kecil dari massa elektron.

Untuk menghitung gerak inti dalam atom hidrogen kita perlu membayangkan bahwa elektronnya diganti oleh partikel bermassa m’ dan bermuatan –e . massa tereduksi m’ lebih kecil dari massa elektron m, sehingga tingkat energi atom hidrogen terkoreksi menjadi

Karena adanya gerak inti maka semua tingkat energi atom hidrogen berubah dengan peraksi
        














4.9  EKSITASI ATOM

Terdapat dua mekanisme utama yang dapat mengeksitasi sebuah atom ke tingkat energi di atas tingkat dasar , sehingga dapat menyebabkan atom itu memancarkan radiasi.

Gb 7-12


  1. mekanisme tumbukan antar atom














  1. mekaisme menimbulakan lecutan listrik dalam gas bertekanan rendah . sehingga timbul medan listrik yang mempercepat elektron da ion atomik sampai energi kinetiknya cukup untuk mengeksitasi atom ketika terjadi yumbukan
                                      

atom yg tereksitasi dengan cara ini akan kembali ke tingkat dasar dalam waktu rata rata sekon dengan memacarkan satu atau lebih foton.

Mekanisme eksitasi menghasilkan spekrum atomik , spektrum atomik adalah salah satu cara untuk menyelidiki tingkat energi diskrit dalam atom

  • Mekanise terjadinya spektrum absorbsi
Mekanisme eksiatsi jika suatu atom menyerap sebuah foton cahaya yg energinya cukup untuk menaikan atom itu ke tingkat energi lebih tinggi
                














  • Mekanise terjadinya spektrum emisi
Mekanisme eksiatsi jika suatu atom melepas sebuah foton cahaya yg energinya ckup untuk menurunkan atom itu ke tingkat energi lebih rendah.











               Spektrum atomik bukanlah satu satunya cara untuk menyelidiki adanya tingkat enrgi diskrit dalam atom. Sederetan eksperimen yg berdasarkan pada tumbukan dilakukan oleh Franck- Hertz yang di mulai pada tahun 1914. eksperimen ini menunjukan secara langsung bahwa tingkat enrgi atomik memang ada dan tingkat tingkat ini sama dengan tingkat-tingkat yang terdapat pada spektrum garis

4.9  PRINSIP KORESPONDENSI

Prinsip korespondensi ialah persyaratan fisika kuantum memberin hasil yg sama dengan fisika klasik dalam limit bilangan kuantum besar. Fisika kuantum harus menghasilkan ramalan yg sama dengan fisika klasik dalam daerah dimana eksperimen menunjukan bahwa fisika klasik berlaku. Teori relativitas, teori kuatum radiasi, dan teori gelombang materi memnuhi syarat prinsip korespodensi. Teori atom bohr  juga memenuhi syarat prinsip kores pondensi.
               Menurut teori atom elektromagnetik, elektron bergerak dalam orbit lingkaran memancarakan gelombang elektromagnetik yg frekuensinya sama dengan frekuensi perputaran dan harmonik (kelipatan bilangan bulat) dari frekuensi itu

  • Kecepatan elektron orbit H adalah
              
  • Frekuensi perputaran elektron secara klasik (f)

              
  • Rumusan kuantum radiasi dalam orbit bilangan kuantum tinggi

              

  • atom hydrogen yang jatu dari tingkat energi keingkat energi tinggi kememancarkan foton berfrekuensi

                                                     

  • andaikan bilangan kuantum awal dan bilangan kuantum akhir  dengan p=1,2,3… maka frekuensi foton yang terpancar menjadi
                                               

                                                       

   andaikan bilangan kuantum awal  dan bilangan kuantum akhir  sangat besar (n>>p)
  
               frekuensi foton:

   untuk p=1 maka frekuensi radiasi n tepat sama denga frekuensi putaran electron orbital f

               jadi pers. Di atas menunjukan adanya prinsip korespondensi antara klasik dan kuantum akan memberikan hasil sama dengan fisika klasik untuk bilangan kuantum n besar.


SOAL DAN PENYELESAIAN

1.     Rumus hamburan Rutherford tidak cocok dengan data pada sudut hamburan sangat kecil. Dapatkah anda memikirkan penyebabnya?
Penyelesaian:
Sudut q kecil berarti parameter dampaknya besar sehingga muatan nuklir dari atom target terperisai sebagian oleh elektronnya. Hal ini menyebabkan rumus hamburan Rutherford tidak cocok dengan data pada sudut hamburan sangat kecil.

2.     Partikel alfa 5 MeV mendekati inti-atomik emas dengan parameter dampak 2,6 x 10-13 m. Dengan sudut berapakah partikel itu berhambur?
Penyelesaian:
      Dik :     E   = ½ mv2 = 5 MeV = 8,01 x 10-13 j
                   Z   =  79
                   e0   =  8,85 x 10-12 C2/Nm2
                   b    =  2,6 x 10-13 m
      Dit    :   q    =  ... ?
      Jawab   :
     
                   =    
                   =    
                   =     11,44
      cot    =     cot 50
               θ  =     50 x 2 = 100

3.     Berapakah parameter partikel alfa 5 MeV supaya terhambur dengan sudut 100 ketika mendekati inti-atomik emas?
Penyelesaian:
      Dik   :   E   =  ½ mv2 = 5 MeV = 8,01 x 10-13 j
                   Z   =  79
                   e0   =  8,85 x 10-12 C2/Nm2
                   θ    =  100
      Dit    :   b    =  ... ?
      Jawab   :
     
          =   
                   =    
               b  =    
                   =     0,26 x 10-12 m

4.     Berapa fraksi berkas partikel alfa 7,7 MeV yang jatuh pada selaput emas setebal 3 x 10-7 m dihambur dengan sudut 10 ?
Penyelesaian:
      Dik   :   θ    =  10
                   k    =  7,7 MeV = 1,23 x 10-12 J
                   t     =  3 x 10-7 m
      Dit    :   f    = ... ?
      Jawab :
      f    = 
           =  5,90 x 1028 x 3,14 x 3.10-7
                   =  5,5578 x 1022
           =  0,159

5.     Berapa fraksi berkas partikel  alfa 7,7 MeV yang jatuh pada selaput emas setebal 3 x 10-7 m dihambur dengan sudut 900 atau lebih ?
Penyelesaian:
      Dik   :   K   =  7,7 MeV = 1,23 x 10-12 J
                   t     =  3 x 10-7
                   θ    =  900
                   n    =  5,90 x 1028 atm s/m3
                   ε0   =  8,85 x 10-12 C2/Nm2
      Dit    :   f    =  .... ?
      Jawab :
      f    = 
           =  3,14 x 5,9.1028
                   =  5,5578 x 1022
           =  1,21 x 10-5

6.     Tunjukkan bahwa dua kali lebih banyak partikel alfa dihambur oleh selaput melalui sudut antara 600 dan 900 dibandingkan dengan yang dihambur melalui sudut 900 atau lebih.
Penyelesaian:
     
      =  
      =  
      =  
      =   2

      Terbukti bahwa partikel alfa yang dihamburkan melalui sudut 600 – 900 adalah 2x lebih banyak dari pada partikel alfa yang dihambur melalui sudut 900 atau lebih.

7.     Berkas partikel alfa 8,3 MeV diarahkan pada selaput aluminium. Didapatkan bahwa rumus hamburan Rutherford tidak lagi berlaku pada sudut hamburan melebihi 600. Jika jejari partikel alfa dapat dianggap kecil sehingga bisa diabaikan, cari jejari inti aluminium.
Penyelesaian:
      Dik   :   K   =  8,3 MeV = 1,33 x 10-12 J
                   Z   =  13
                   e    =  1,6 x 10-19 C
               N (Q) =  N
      Dit    :   r0   =  ... ?
      Jawab :
           r0 = 
               = 
               = 
               =  4,5  x  10-15 m

8.     Tentukan jarak hampiran terdekat dari proton 1 MeV yang jatuh pada inti emas.
Penyelesaian:
      Dik   :   1 MeV = 106 ev = 1,6 x 10-13 J
                   Z   =  79
                   e    =  1,6 x 10-19 C
      Dit    :   r0   =  ... ?
      Jawab :
           r0 = 
               = 
               =  1,14  x  10-13 m

9.     Cari frekuensi perputaran elektron dalam model klasik dari atom hidrogen. Dalam daerah spektrum manakah gelombang elektromagnetik dengan frekuensi sebesar itu?
Penyelesaian:
      Dik   :   r hidrogen = 5,3.10-11 m
      Dit    :   Frekuensi perputaran elektron?
      Jawab :
      V  = 
           = 
           = 
           =  2,2.106 m/s
      λ   =     = 
                                                      =          3,3117 x 10-10 m
10.  Intensitas medan listrik pada jarak r dari pusat bola yang bermuatan serba sama berjejari R dan bermuatan total Q ialah Qr/4pe0R3 bila r < R. Bola seperti itu bersesuaian dengan model atom Thomson. Tunjukkan bahwa elektron dalam bola ini melakukan gerak harmonik sederhana di sekitar pusat bola dan turunkan rumus untuk mencari frekuensi gerak itu. Cari frekuensi isolasi elektron atom hidrogen dan bandingkan dengan frekuensi garis spektral hidrogen.
Penyelesaian:
      a)  V =             : 2 π r
           f  =    =    = 
               = 
           Dimana r = R
           e  =  Q   =  Qr/4πe0R3
           f  =   x 
               = 
      b)  f  = 
               =  6,6 x 10-15 H2

11.  Bohr tanpa mengetahui hipotesis de Broglie telah membentuk modelnya dengan mengajukan postulat bahwa momentum-sudut elektron orbital harus merupakan kelipatan bilangan bulat dari h. Tunjukkan bahwa postulat ini menghasilkan Persamaan 4.21.
Penyelesaian:
      Menurut model Bohr, untuk elektron orbital berlaku : L = n atau
                                                                                          mvrn = n
      Jika dipakai hubungan de Broglie
           P = , maka rn = n atau 2πrn = nλ ............(4.21)


12.  Carilah bilangan kuantum yang menentukan orbit bumi mengelilingi matahari. Massa bumi ialah  6 x 1024 kg, jejari orbitalnya ialah 1,5 x 1011 m dan kelajuan orbitalnya 3 x 104 m/s.
Penyelesaian:
      Dik   :   m bumi = 6.1024 kg
                   r bumi = 1,5.1011 m
                       v     = 3.104 m/s
      Dit    :   Bilangan kuantum ...?
      Jawab :
           λ  = 
               = 
               =  3,68.10-13 m
               =    R
                   =    1,097.10-3 Ǻ-1
                   =    1,097.10-3 Ǻ-1
                   =    1,097.10-3 Ǻ-1
                   =    9,14.10-5 Ǻ-1
           λ      =   
                   =    10940,92 m

13.  Cari panjang gelombang foton yang dipancarkan bila atom hidrogen bertransisi dari keadaan n = 10 ke keadaan dasar
Penyelesaian:
      Dik   :   n    =  10 ke keadaan dasar deret lyma
                   R   =  1,097.10-3 Ǻ-1
      Dit    :   λ    =  ....?
      Jawab :
              =    R
                   =    1,097.10-3 
                   =    1,097.10-3
                   =    1,097.10-3 
                   =    1,086.10-3
           λ      =   
                   =    920,8 Ǻ

14.  Berapa besar energi yang diperlukan untuk mengeluarkan elektron dalam keadaan n = 2 dari atom hidrogen?
Penyelesaian:
      Dik   :   n    =  2
                   me =  9,1.10-31 kg
                   e    =  1,6.10-19
                   e0   =  8,85 x 10-12 C2/Nm2
                   h    =  6,63 X 10-34
      Dit    :   E   =  .....?
      Jawab :
      E   =  E2  + 
           = 
           =  0,12 x 10-17 J
15.  Sebuah atom hidrogen tereksitasi memancarkan foton 1.025,5 Ǻ ketika jauh ke tingkat dasar. Berapakah bilangan kuantum tingkat eksitasinya ?
Penyelesaian:
      Dik   :   λ    =  1025,5 Ǻ
                   n1  =  1
                   R   =  1,097.10-3 Ǻ-1
      Dit    :   n2  =  ..... ?
      Jawab :
                    =  R
            =  1,097.10-3 
      9,75.10-4    =  1,097.10-3
      9,75.10-4    = 
      9,75.10-4 n22    =    9,75.10-3    - 9,75.10-3
      9,75.10-4     - 1,097.10-3 =  - 1,097.10-3
      -1,22.10-4  = -1,097.10-3
                       =         
                       =    9
                   n2       =   
                             =    3

16.  Berapa perputaran yang dibuat oleh elektron pada keadaan n = 2 dari atom hidrogen sebelum elektron itu jatuh ke keadaan n = 1 (Waktu hidup rata-rata tingkat eksitasi ialah sekitar 10-8 s)
Penyelesaian:
      Dik   :   n    =  2
                   n    =  1
      Dit    :   Perputaran = .. ?
      Jawab :
           f = 
               = 
               = 
               = 
               = 
               =  0,03264.10-17 .  0,25
               =  8,16.10-3.1017
               =  8,16.1014
      Perputaran =  f . t
                         =  8,16.1014 . 10-8
                         =  8,16.106

17.  Atom tereksitasi bermassa m mempunyai kelajuan awal v memancarkan foton dalam arah geraknya. Jika v « c, gunakan persyaratan bahwa momentum linear dan energi kekal untuk menunjukkan bahwa frekuensi foton lebih tinggi dengan Dv/v » v/c dari pada kasus jika atom itu diam. (Lihat juga soal 10 Bab I)
Penyelesaian:
      o   ®   
      m  ®    foton
      Kekekalan momentum
        =  m.v – m1.v1          (1)
      Kekekalan energi
      h.v    =  m.c2 – m1.c2         (2)
      (1)           =    m – m1
      (2)           =    m  - m1
                         =   (m – m1)  +  m1
      1 dan 2 Þ
     
                        (3)
      untuk v = 0
                         (4)
      Persamaan 3 dan 4
      m1 ∆v    m01 ∆v0, karena  << 1
        -  v  =  0
         (terbukti)
18.  Sebuah muon - m (m = 20 me) dapat terperangkap oleh sebuah proton untuk membetnuk “atom muonik”. Cari jejari orbit Bohr pertama untuk atom seperti itu.
Penyelesaian:
      Jejari orbit Bohr untuk atom hidrogen ialah
           rn     =   
      Jejari Bohr     rn    =
      Untuk atom muonik berlaku rumus yang sama. Hanya me diganti massa 1 muonik m m
      Jejari Bohr muonik :        r m  =
      Jadi rm / r =


































MODUL 5
PENDAHULUAN MEKANIKA KUANTUM

Walaupun teori atom Bohr yang dapat diperluas lebih lanjut dari yang telah dikembangkan dalam bab yang lalu, dapat menerangkan banyak aspek dari gejala atom, memiliki beberapa kelemahan atau mengandung pembatasan yang cukup berat diantaranya:

q Teori atom bohr tidak dapat menerangkan mengapa garis spektrum berintensitas lebih tinggi dari yang lain.
q Tidak dapat menerangkan hasil pengamatan bahwa banyak garis spektrum sesungguhnya  terdiri dari garis-garis yang terpisah dengan panjang gelombang yang berbeda.
q Teori ini tidak bisa menjelaskan bagaimana atom individual berinteraksi untk menimbulkan kumpulan makroskopik materi yang memiliki sifat fisis dan kimiawi

Keberatan pada teori atom Bohr ini tidak semata-mata diajukan dengan maksud untuk memusuhi, karena teori ini telah menghasilkan sesuatu yang mengalihkan pemikiran yanh ilmiah. Untuk menekankan bahwa diperlukan pendekatan pada gejala atomic dengan cara yang lebih umum. Pendekatan seperti ini dinamakan mekanika kuantum. Penerapan mekanika kuantum pada persoalan yang menyangkut inti, atom, partikel molekul dam materi dalam zat padat memungkinkannya untuk mengerti banyak data yang cukuo memusingkan jika kita tidak memakai mekanika kuantum.



5.1  PERBEDAAN MEKANIKA KUANTUM DENGAN MEKANIKA NEWTON

q Dalam mekanika newton masa depan partikel telah ditentukan oleh kedudukan awal, momentum awal serta gaya-gaya yang beraksi padanya yang dalam dunia makroskopik, kuantitas ini semua dapat ditentukan dengan ketelitian yang cukup.

q Dalam mekanika kuantum ketentuan karakteristik tidak mungkin diperoleh karena kedudukan dan momentum awal partikel tidak mungkin ditentukan dengan ketelitian yang cukup (masa depan tak diketahui karena masa tak terketahui).

Mekanika kuantum juga menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati. Kuantitas yang hubungannya dijelajahi mekanika kuantum adalah peluang (kemungkinan). Mekanika newton tidan lain dari pada versi aproksimasi dari mekanika kuantum.

Kuantitas yang hubungannya dijelajahi mekanika kuantum ialah peluang. Sepintas kita bias mengira bahwa mekanika kuantum merupakan pengganti yang jelek dari mekanika Newton. Mekanika Newton tidak lain daripada versi aproksimasi dari mekanika kuantum

5.2  PERSAMAAN GELOMBANG
Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum adalah fungsi gelombang (ψ). |ψ|² yang dicari pada suatu tempat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu ditempat itu dan saat itu. Biasanya untuk memudahkan kita ambil |ψ  sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh (ψ). Alih-alih hanya berbanding lurus dengan P jika |ψ|² sama dengan P maka betul bahwa:
                                                                       
                     sehingga,
                                                        
                  karena                  (pers.1)  

Ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada disuatu tempat untuk setiap saat; jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Fungsi gelombang terseebut dikatakan ternormalisasi.
Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hiukum gerak ke dua, merupakan persamaan pokok dalam mekanika Newton, adalah persamaan gelombang dalam variable (ψ).
Sebelum kita melihat Persamaan Schrodinger,kita tinjau persaman gelombang secara umum:

                                                                        (pers.2)

Yang menentukan gelombang dengan kuantitas variable y yang menjalardalam arah x dengan kelajuan v. dalam kasus gelombang pada tali terpentang y menyatakan pergeseran tali dari sumbu x; dalam kasus gelombang bunyi y ; y menyatakan perbedaan tekanan dalam kasus gelombang cahaya; y bias menyatakan besarnya medan listrik atau magnetic. Gelombang ekuivalen dari sebuah “ partikel bebas” yaitu sebuah partikel yang tidak mengalami gaya sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstant.. Ekukuivalensi yang bersesuaian dengan pemecahan pers.gelombang untuk gelombang harmonik monokromatik yang tak teredam dalam arah +x:
                                                           
                                                            (pers.3)

            Dalam rumus diatas ini y merupakan kuantitas kompleks yang memiliki bagian rildan bagian imaginer.
Dimana:
           


                             dimana k=


            atau                     
           
dapat ditulis dalam bentuk;                                                                                                                     karena   

sehingga didapat persamaan:
                       
                                    (pers.4)

Persamaan ini mempunyai arti penting untuk kasus gelombang pada tali terpentang, dengan y menyatakan pergeseran tali dari kedudukan normal dalam kasus ini bagian imajiner di buang.

5.3  PERSAMAAN SCHRODINGER BERGANTUNG WAKTU

Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang bersesuaian dengan variable gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun tidak seperti, bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapatberupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggapdalam arah x dinyatakan oleh:
                                                                        (pers.5)
Jika kita ganti  dalam rumus diatas dengan  dan v dengan , kita peroleh:

                                               
Ψ tidak seperti y,bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur,melaikan kuantitas kompleks.

Hubungan E dan P

           
dan
           
sehingga                                                       (Pers 6)

Persamaan diatas merupakan pemerian matematis gelombang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.




Penurunan pers. Schrodinger,


Dideferensikan dua kali terhadap X:
dimana

Sehingga

                                                                       (Pers.7 )

Dan sekali terhadap t:
           

Sehingga:

                                                                         (pers.8)

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya,energi totap E ialah jumlah energi kinetik dan energi potensial yang merupakan fungsi kedudukan  X  dan  t :

 

Dikalikan dengan fungsi gelombang       :

                                                                (pers.9)
                                                                                   

Dari pers.7 dan pers.8,didapat:

                                                                        (pers.10)                                            
                                               
                                                                       (pers.11)


Disubsitusi  pers.10 dan pers.11 ke pers.9,sehingga didapat:

                                                                                               
                                             (pers.12)
                                                                                               
(pers.12) merupakan persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi.

            Sedangkan persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam tiga dimensi.

                                 (pers.13)

Persamaan ini hanya berlaku untuk persoalan non-relativistik.


5.4  HARGA EKSPEKTASI

Sekali persamaan schordinger telah dipecahkan untuk sebuah partikel dalam situasi visis, fungsi gelombang (x,y,z,t) yang dihasilkan mengandung semua informasi tentang partikel itu yang diizinkan oleh prinsip ketaktentuan. Kecuali untuk variable yang ternyata terkuantisasi dalam kasus tertentu. Harga ekspektasi merupakan tingkat kualitas peluang.

                          (pers.14)

            Rumusini berlaku walaupun G(x) berubah terhadap waktu, karena G(x) suatu kejadian harus dihitung pada saat tertentu t, karena sendiri merupakan fungsi dari t. G(x) merupakan suatu kuantitas fungsi kedudukan partikel x dari partikel yang diberikan oleh fungsi gelombang.


5.5  PERSAMAAN SCHRODINGER: BENTUK KEADAAN TUNAK

            Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit, gaya yang beraksi padanya; jadi juga v hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Betuk keadaan tunak merupakan bentuk yang tidak bergantung waktu.Kita tinjau fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis:

                           (pers.15)

                                                                                                                       
   Merupakan fungsi bergantung waktu    dan kedudukan
Kenyataannya perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seprti padda partikel bebas.
Pers.15 disubsitusi kedalam pers.9, sehingga didapat:           




Dibagi dengan faktor eksponensialnya
                                                       (pers.16)
Pers.16 merupakan persamaan keadaan tunak Schrodinger dalam satu dimensi.
Persamaan  keadaan tunak Schrodinger dalam tiga dimensi:                                                                                            (pers.17)
                                                                                        
Pada umumnya,persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat di pecahkan hanya untuk harga     dan     tertentu yang disebut harga eigen En dan   n fungsi yang bersesuaian disebut fungsi eigen.  
Seperti halnya tingkat  energi diskrit atom hidrogen merupakan harga eigen. Istilah ini berasal dari bahasa jerman Eigenwert yang berarti”harga karakteristikyang sesungguhnya” dan Eigenfungkition atau fungsi karakteristik sesungguhnya. Tingjkat energi diskrit atom hidrogen
      En 

      n=1,2,3,…

Merupakan contoh sekelompok harga Eigen. Mengapa harga tertentu E yang menghasilkan fungsi gelombang yang dapat diterima untuk electron dalam atom hydrogen.
            ontoh lain,momentum sudut:
Li
    
 











Gelombang Standing Wave
                   http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Harmonic_partials_on_strings.svg/250px-Harmonic_partials_on_strings.svg.png

 Gelombang berdiri dalam tali terpentang yang kedua ujung terikat.

5.6  PARTIKEL DALAM KOTAK

            Untuk memecahkan persamaan Schordinger, walaupun dalam keadaan tunak yang sederhana, biasanya memerlukan teknis matematis cukup rumit. Hal itu yang menyebabkan studi mekanika kuantum secara tradisional hanya dilakukan oleh orang yang telah memiliki kemampuan metematika yang diperlukan. Persoalan kuantum mekanis yang tersederhana ialah:

q Sebuah partikel tidak kehilangan energi partikel itu bertumbukan dengan dinding sehingga energi tetap konstan .

q Dalam mekanika kuantum, energi potensial(V) dari partikel itu menjadi tak terhingga di kedua sisi kotak, sedangkan V konstan,sehingga dianggap nol.

q Karena partikel tidak bias memiliki energi tak berhingga maka partikel itu tidak mungkin berada diluar kotak sehingga  sama dengan nol, untuk x ≤ 0 dan x ≥ L
q Harga – eigen yang membentuk tingkat energi system besarnya:

                                                            n = 1,2,3……
                                                                                                      (Pers. 18)
Yang bentuknya mempunyai persamaan tafsiran yang sama.

Sehingga fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenergi En  adalah

 

Yang menyatakan fungsi eigen yang bersesuaian ddengan harga eigen En.

Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa fungsi eigen itu memenuhi semua persyaratan.                                                               
            Subsitusikan persamaan untuk En menghasilkan:


                                                               (pers.19)
                                                                                         
                                                                                         
            sedangkan fungsi gelombang yang ternormalisasi:

                                    (pers.20)

Fungsi gelombang yanr ternormalisasi,, bersama dengan kerapatan peluang .fungsi gelombang mirip dengan getaran yang isa terjadi dari seutass tali yang kedua uju ngnya terikat. Hal ini timbul sebagai akibat bahwa gelombang padaa tali yang terpentang yang menyatakan sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh persamaan bentuk yang sama. Sehingga dikenakan persyaratan yang sama pada masing-masing gelombang.

5.7  PEMANTULAN DAN TRANSMISI OLEH PERINTANG

            Menurut mekanika klasik:
q Dalam mekanika kuantum,jika partikel itu mampu untuk memasuki perintang dan sekali ada didalamnya,partikel itu mempunyai peluang untuk meneruskan pergerakannya

q Contoh efek trobsan yaitu dalam kasus partikel alfa yang dipancarkan oleh inti radio aktif tertentu

            Efek terobosan dapat dimengerti dengan memakai priunsip ketaktentuan. Jika kita mengatakan bahwa partikel yang tidak dapat memasuki perintang maka ketaktentuan kedudukan ‎∆x harus nol. Tetapi karena ‎∆x∆p ≥ h/2, ketaktentuan momentum ‎∆p yang bersesuaian harus menjadi tak berhiungga didalam perintang itu.


5.8  EFEK TROBOSAN

         Analisis terperinci dari efek trobosan sangat menarik dan tidak terlalu sukar. Dalam efek trobosan inipersamaan Schrodinger meninjau seberkas partikel identik masing-masing berenergi kinetic K=E.
         Dalam mekanika kuantum,jika partikel itu mampu untuk memasuki perintang dan sekali ada didalamnya,partikel itu mempunyai peluang untuk meneruskan pergerakannya

                 

q Contoh efek trobsan yaitu dalam kasus partikel alfa yang dipancarkan oleh inti radio aktif tertentu .
Karena E < V, k’ merupakan bilangan imajiner dan untuk memudahkan kita deffinisikan bilangan gelombang lain k2 dengan cara sebagai berikut.

                       

5.9  OSILATOR HARMONIK
            Gerak harmonok terjadi jika suatu system jenis tertentu bergetar disekitar konfigurasi setrimbangnya. Sistemnya bias terdiri sdari benda yang tergantung pada ebuah pegas atau terapung pada zat cair, molekul deviatom, sebuah atom dalam kisi Kristal terdapat contoh dalam dunia microscopik. Persyaratan agar gerak harmonic terjadi adalah adanya gaya pemulih yyang beraksi untuk mengrembalikan kekonfigurasi setimbangnya jika sisitem itu diganggu.

Frekuensi Osilator Harmonik:

                                                                             (Pers. 23)
Sedangkan tingkat energi Harmonik En:

                                                                     (Pers. 24)

            Merupakan frekuensi osilasi, A amplitude dan harga , tetapan fase tergantung besar harga x pada saat t=0
jadi untuk n = 0

                                                                         (pers. 25)
            Yang menyatakan energi terendah yang dapat dim8liki oleh osilator itu. Harga ini disebut energi titik nol kaarena seebuah osilator haarmonik daalaam keadaan setimbang dengan sekelilingnya akan mendekati E=E0 dan bukan E=0 ketike tempertur mendekati 0 K.


SOAL DAN PENYELESAIAN

1.     Buktikan semua pemecahan persamaan?


Harus berbentuk y=F(t±x/v) seperti dinyatakan dalam pasal 5.2

Penyelesaian:
Membuktikan
                                              
       
       
        
                                     (Untuk t=0, x=0)
2.     Jika  dan  keduanya merupakan solusi persamaan Schrodinger untuk potensial V (x) yang diketahui, tunjukan bahwa kombinasi linear


Dengan a1 dan a2 constant sembarang juga merupakan solusi. Hasil ini bersesuaian dengan pengamatan empiris interverensi gelombang de Broglie, misalnya dalam experimen davison-Germer yang dibahas dalam bab 3.

Penyelesaian:
,,
               

    Untuk :
   
            
Merupakan solusi dari persamaan Schrodinger.

3.     Tentukan peluang untuk mendapatkan partikel dalam pasal 5.6 dalam daerah selebar ∆x = 0,01L  pada masing-masing kedudukan di bawah ini untuk keadaan dasar (tanpa integrasi) : x = 0; 0,025L; 0,5L; 0,75L, L.

Penyelesaian:
Peluang untuk mendapatkan suatu partikel pada interval tertentu:
Sehingga untuk keadaan dasar dengan nilai x=0,0.025L,0.5L,0.75L,L.,didapat nilai a peluangnya=0,0.01,0.012,0.01,0.


4.     Ulangi soal 3 untuk tingkat eksitasi pertama  n = 2 untuk partikel itu.
Penyelesaian:
dengan cara yang sama,namun pada tekanan n=2 didapatkan nilai : L/2              

5.     Sifatpenting fungsi-eigen suatu sistem ialah fungsi itu saling ortogonal, yang berarti
               n ≠ m
Buktikan hubungan ini untuk fungsi-eigen sebuah patikel dalam kotak satu dimensi yang dinyatakan oleh persamaan 5.33.
Penyelesaian:
Untuk partikel dalam kotak 1 dementional :


6.     Cari energi titik nol pada elektrovoltdari suatu bandul yang periodenya a adalah 15.
Penyelesaian:
Energy titik nol pada bandul
Untuk k,T=15

7.     Dalam sebuah osilator harmonikkedudukan partikel berubah dari –A ke +A dan momentumnya dari –p ke +p. Dalam osilator semacam itu deviasistandard x dan p ialah ∆x=A / √2 dan ∆p= , gunakanlahhal ini untuk menunjukkan bahwa enegi minimum osilator harmonik ialah 1/2hv.
Penyelesaian:
            Osilator harmonic : -A ≤ x ≤ A dan –P0 ≤ P ≤ P
Deviasi standart : ∆x = A/2
                            ∆P= P0/√2
 Ketidaktentuan Heisenberg menyatakan bahwa :
Energy total partikel :
                          (1)

Dapat juga di tulis :
                       (2)

Subsitusikan persaamaan 1 dan 2

8.     Tunjukkan 3 fungsi gelombang pertama dari osilator harmonik merupakan solusi dari persamaan schrodinger.
Penyelesaian:
Menunjukan 3 fungsi gelombang

Dengan solusi umumnya :

Ø  Osilator harmonik teredam :
          
   


Ø  Osilator harmonic terpaksa :

                                                      
                  
Di subsitusikan persaaman di atas :
Solusi    :

9.     Fungsi gelombang yang mana ditunjukkan pada gambar 5.15 yang mungkin mempunyai artti visis penting?
                   ( a )                                                                                        ( b )
                                    
                      ( c )                                                                                            ( d )                                                                               
                                         

                   ( e )                                                                                           ( f )
                                     
                  
Penyelesaian:
Fungsi yang mempunyai arti fisis harus memenuhi syarat :


Gambar 5-15
a)     Tidak memenuhi (i)
b)     Memenuhi ketiga syarat
c)     Tidak memenuhi (i)
d)     Memenuhi ketiga syarat
e)     Tidak memenuhi
f)      Memenuhi ketiga syarat